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矩阵指数

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幂级数 定义了 指数映射 e^x，它也定义了 矩阵 之间的映射。特别地，

exp(A)=e^(A)
(1)
=sum_(n=0)^(infty)(A^n)/(n!)
(2)
=I+A+(AA)/(2!)+(AAA)/(3!)+...,
(3)

对于任何方阵 A 都收敛，其中 I 是单位矩阵。矩阵指数在 Wolfram 语言 中实现为MatrixExp[m].

克罗内克和 满足良好的性质

exp(A) tensor exp(B)=exp(A direct sum B)
(4)

(Horn and Johnson 1994, 第 208 页)。

矩阵指数在求解常微分方程组中非常重要（例如，Bellman 1970）。

在某些情况下，表达矩阵指数很简单。例如，当 A 是对角矩阵时，可以通过简单地对每个对角元素求指数来执行指数运算。例如，给定一个对角矩阵

A=[a_1 0 ... 0; 0 a_2 ... 0; | | ... |; 0 0 ... a_k],
(5)

矩阵指数由下式给出

exp(A)=[e^(a_1) 0 ... 0; 0 e^(a_2) ... 0; | | ... |; 0 0 ... e^(a_k)].
(6)

由于大多数矩阵是可对角化的，因此在求指数之前对矩阵进行对角化最为容易。

当 A 是幂零矩阵时，指数由矩阵多项式给出，因为 A 的某个幂为零。例如，当

A=[0 x z; 0 0 y; 0 0 0],
(7)

那么

exp(A)=[1 x z+1/2xy; 0 1 y; 0 0 1]
(8)

且 A^3=0。

对于零矩阵 A=0，

e^(0)=I,
(9)

即，单位矩阵。一般来说，

e^(A)e^(-A)=e^(0)=I,
(10)

因此矩阵的指数总是可逆的，其逆矩阵是矩阵负数的指数。然而，一般来说，公式

e^(A)e^(B)=e^(A+B)
(11)

仅当 A 和 B 可交换时成立，即，

[A,B]=AB-BA=0.
(12)

例如，

exp([0 -x; 0 0]+[0 0; x 0])=[cosx -sinx; sinx cosx],
(13)

而

exp([0 -x; 0 0])exp([0 0; x 0])=[1 -x; 0 1][1 0; x 1] =[1-x^2 -x; x 1].
(14)

即使对于一般的 2×2 实矩阵，矩阵指数也可能非常复杂

exp([a b; c d])=1/Delta[m_(11) m_(12); m_(21) m_(22)]
(15)

其中

m_(11)=e^((a+d)/2)[Deltacosh(1/2Delta)+(a-d)sinh(1/2Delta)]
(16)
m_(12)=2be^((a+d)/2)sinh(1/2Delta)
(17)
m_(21)=2ce^((a+d)/2)sinh(1/2Delta)
(18)
m_(22)=e^((a+d)/2)[Deltacosh(1/2Delta)+(d-a)sinh(1/2Delta)],
(19)

并且

Delta=sqrt((a-d)^2+4bc).
(20)

当 Delta->0 时，这变为

exp([a b; c d])=e^((a+d)/2)[1+1/2(a-d) b; c 1-1/2(a-d)].
(21)

另请参阅

指数函数, 指数映射, 克罗内克和, 矩阵, 矩阵幂

此条目的部分内容由 Todd Rowland 贡献

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参考文献

Bellman, R. E. 矩阵分析导论，第二版 New York: McGraw-Hill, 1970.Horn, R. A. and Johnson, C. R. 矩阵分析专题。 Cambridge, England: Cambridge University Press, p. 208, 1994.Moler, C. and van Loan, C. "Nineteen Dubious Ways to Compute the Exponential of a Matrix, Twenty-Five Years Later." SIAM Rev. 45, 3-49, 2003.

在 Wolfram|Alpha 中被引用

矩阵指数

请按如下方式引用

Rowland, Todd 和 Weisstein, Eric W. "矩阵指数。" 来自 MathWorld——Wolfram 网络资源。 https://mathworld.net.cn/MatrixExponential.html

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