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柯西主值

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函数 f 关于点 c 在 a<=c<=b 上的有限积分的柯西主值由下式给出

PVint_a^bf(x)dx=lim_(epsilon->0^+)[int_a^(c-epsilon)f(x)dx+int_(c+epsilon)^bf(x)dx]

类似地，函数 f 的双重无限积分的柯西主值定义为

PVint_(-infty)^inftyf(x)dx=lim_(R->infty)int_(-R)^Rf(x)dx.

柯西主值也称为主值积分 (Henrici 1988, p. 261)、有限部分 (Vladimirov 1971) 或 partie finie (Vladimirov 1971)。

在 Wolfram 语言中，可以使用以下方法计算没有非简单极点的积分的柯西主值Integrate[f, {x, a, b},PrincipalValue -> True]. 对于可能具有非简单极点的函数，可以使用以下数值方法计算柯西主值"CauchyPrincipalValue"方法在NIntegrate.

柯西主值在广义函数理论中很重要，它们允许将 L^2 结果扩展到 L^1。

柯西主值有时也简称为“主值”（例如，Vladimirov 1971，p. 75），即使它们与复分析的主值无关。

柯西主值最常见的表示方法似乎是 PVintf(x)dx (Henrici 1988, pp. 259-262; Gradshteyn and Ryzhik 2000, p. 523)。有时，不使用显式表示 (Harris and Stocker 1998, p. 552; Gradshteyn and Ryzhik 2000, p. 248)。其他表示法包括 P (Arfken 1985, p. 403)，P.V. (Apelblat 1983, p. viii)， P (Morse and Feshbach 1953, p. 368; 大多数俄罗斯作者)， Pv (Vladimirov 1971)， (CPV) (Bronshtein and Semendyayev 1997, p. 282) 和 V.P. (Brychkov 1992, p. 7)。对于具有有限极限的积分，柯西主值有时表示为 -int_a^bf(x)dx (Zwillinger 1995, p. 346)。

另请参阅

希尔伯特变换, 对数积分, 主值, 简单极点

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参考文献

Apelblat, A. Table of Definite and Indefinite Integrals. 阿姆斯特丹，荷兰：爱思唯尔，1983年。Arfken, G. Mathematical Methods for Physicists, 3rd ed. 奥兰多，佛罗里达州：学术出版社，第 401-403 页，1985年。Bronshtein, I. N. and Semendyayev, K. A. Handbook of Mathematics, 3rd ed. 纽约：施普林格出版社，1997年。Brychkov, Yu. A.; Glaeske, H.-J.; Prudnikov, A. P.; and Tuan, V. K. Multidimensional Integral Transformations. 费城，宾夕法尼亚州：戈登和布里奇，1992年。Cauchy, A. "Sur un nouveau genre de calcul analogue au calcul infinitésimal." Exercises de mathematiques 1826. Reprinted in Oeuvres complètes, Ser. 2, Vol. 6. 巴黎：戈蒂埃-维拉尔，第 23-37 页，1882-1974 年。Dieudonné, J. Geschichte der Mathematik 1700-1900: Ein Abriß. 柏林：VEB 德国科学出版社，p. 149, 1985.Gradshteyn, I. S. and Ryzhik, I. M. "The Principal Values of Improper Integrals." §3.05 in Tables of Integrals, Series, and Products, 6th ed. 圣地亚哥，加利福尼亚州：学术出版社，p. 248, 2000.Harris, J. W. and Stocker, H. Handbook of Mathematics and Computational Science. 纽约：施普林格出版社，1998年。Henrici, P. Applied and Computational Complex Analysis, Vol. 1: Power Series, Integration, Conformal Mapping, Location of Zeros. 纽约：威利，1988年。Maurin, K. Analysis: Part Two: Integration, Distributions, Holomorphic Functions, Tensor and Harmonic Analysis. 阿姆斯特丹，荷兰：克鲁维尔，2001年。Morse, P. M. and Feshbach, H. Methods of Theoretical Physics, Part I. 纽约：麦格劳-希尔，1953年。Sansone, G. Orthogonal Functions, rev. English ed. 纽约：多佛，p. 158, 1991.Vladimirov, V. S. Equations of Mathematical Physics. 纽约：德克尔，1971年。Whittaker, E. T. and Watson, G. N. A Course in Modern Analysis, 4th ed. 剑桥，英格兰：剑桥大学出版社，1990年。Zwillinger, D. (Ed.). CRC Standard Mathematical Tables and Formulae. 博卡拉顿，佛罗里达州：CRC 出版社，1995 年。

在 Wolfram|Alpha 中引用

柯西主值

请引用为

韦斯坦因，埃里克·W. "柯西主值。" 来自 MathWorld--Wolfram Web 资源。 https://mathworld.net.cn/CauchyPrincipalValue.html

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