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线段点选

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考虑长度为 1 的线段，并在 [0,1] 之间随机选取一个点 x。这个点 x 将线段分成长度为 x 和 1-x 的线段。如果这样随机选取一组点，则所得长度的分布在 均匀分布于 [0,1]。类似地，每次分割后分离出两段，较大段在 [1/2,1] 上均匀分布（均值为 3/4），而较小段在 [0,1/2] 上均匀分布（均值为 1/4）。

在单位线段上随机选取两个点进行切割，所得线段能够构成三角形的概率为 1/4。

LinePointPickingSmall

小段与大段长度之比的概率和分布函数由下式给出

P(x)=2/((1+x)^2)
(1)
D(x)=(2x)/(1+x)
(2)

对于 x in [0,1]。因此，原点矩为

mu_n^'=n[psi_0(1/2(n+1))-psi_0(1/2n)]-1,
(3)

其中 psi_0(x) 是 双伽玛函数。前几个矩为

mu_1^'=2ln2-1
(4)
mu_2^'=-4ln2+3
(5)
mu_3^'=6ln2-4
(6)
mu_4^'=-8ln2+(17)/3
(7)

（OEIS A115388 和 A115389）。中心矩为

mu_n=((-1)^(n-1)(n-1)(2ln2)^n(1-n)_(n-1)(-n)_(n-1))/(Gamma(n)Gamma(n+1)) +sum_(k=0)^(n-2)((ln2)^k(2^n-2^(k+1))(1-n)_k(-n)_k)/((n-1)k!(2-n)_k),
(8)

其中 (x)_n 是 波赫哈默尔符号。前几个中心矩为

mu_2=2-4ln^22
(9)
mu_3=3-12ln2+16ln^32
(10)
mu_4=(14)/3-24ln2+48ln^22-48ln^42.
(11)

因此，均值、方差、偏度和 超额峰度分别为

mu=2ln2-1
(12)
sigma^2=2-4ln^22
(13)
beta=(3-12ln2+16ln^32)/((2-4ln^22)^(3/2))
(14)
gamma=((25)/6-6ln2)/((1-2ln^22)^2)-6.
(15)

均值可以直接从下式计算得出

mu=int_0^1(min(x,1-x))/(max(x,1-x))dx
(16)
=2int_0^(1/2)x/(1-x)dx
(17)
=2ln2-1.
(18)
LinePointPickingLarge

大段与小段长度之比的概率和分布函数由下式给出

P(x)=2/((1+x)^2)
(19)
D(x)=(x-1)/(x+1)
(20)

对于 x in [1,infty)。尽管这可能看起来是悖论，但此分布具有无限均值和其他矩。其原因是理论上的骨骼可以切割得非常接近一端，从而使得最大段与最小段的比值非常大，而实际物理骨骼的切割存在某种限制。假设 epsilon 是骨骼可以切割成的最小段，则均值由下式给出

x^_=2ln(1/(2epsilon))+2epsilon-1.
(21)

另请参阅

立方体点选，超立方体点选，线线点选，正方形点选

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参考文献

Pickover, C. A. "骨骼问题。" 第 8 章，The Mathematics of Oz: Mental Gymnastics from Beyond the Edge. New York: Cambridge University Press, pp. 21-23 和 243-249, 2002.Sloane, N. J. A. 序列 A115388 和 A115389，出自 "整数序列在线百科全书"。

在 Wolfram|Alpha 中被引用

线段点选

请引用为

Weisstein, Eric W. "线段点选。" 来自 MathWorld--Wolfram Web 资源。 https://mathworld.net.cn/LinePointPicking.html

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