一百美元，百位数字挑战难题

一百美元，百位数字挑战难题是由十个数值分析问题组成，发表于 2002 年 1/2 月号的 SIAM News (http://www.siam.org/siamnews/01-02/challenge.pdf)。 这些问题的提出者 Nick Trefethen 悬赏 100 美元给在 2002 年 5 月 20 日之前，对这些问题获得最多正确位数（最多 10 位）的个人或团队。 Trefethen 低估了解题者的聪明才智，20 个独立的团队获得了所有 10 个问题的 10 位正确数字。 在一位匿名捐助者的介入以帮助支付超出预期的奖金后，奖金支票于 2002 年 12 月寄给了所有获奖者。

提出的问题如下。

1. 是什么？这个问题在其原始形式中很难进行数值积分，因为原点附近存在强烈的振荡。 然而，通过代换 ，它可以转化为积分

使用振荡数值积分技术，这个积分可以相当快地收敛。

Boersma 和 Jansen 使用围道积分将问题转化为

它们每一个都收敛得相当快。

Laurie 指出，该积分可以写成

其中 是从 0 到 1 的任何围道，使得在 和从 0 到 1 的线段定义的区域内没有奇点（Wagon 2004）。 例如， 就是这样一条围道。

这个问题也可以通过将被积函数写成渐近级数来解决

并逐项积分以获得强振荡和

令人惊讶的是，可以使用 Wynn 的 epsilon 方法，使用适当的项数和外推度来正则化这个和，从而获得大约 7 位正确数字。

2. 一个光子在 x-- 平面以速度 1 运动，在 时从 出发，方向正东。 在平面上的每个整数格点 周围，都竖立了一个半径为 的圆形镜子。 光子在 时离原点有多远？

3. 具有条目 、、、、、 等的无限矩阵 是 上的有界算子。 是什么？ 这个问题等价于找到具有条目的无限矩阵的最大奇异值

即，矩阵

4. 函数的全局最小值是什么

（参见 Bailey 等人，2007 年，第 12 页和 219 页；Kampas 和 Pintér 2006 年）。 这个问题可以用 Wolfram 语言中的一行代码解决。

  NMinimize[f[x, y], {x, y}, Method -> {"RandomSearch",
    "SearchPoints" -> 700}, WorkingPrecision -> 20]

5. 令 ，其中 是伽马函数，令 是在单位圆盘上以上确界范数 最佳逼近 的三次多项式。 是什么？

6. 一只跳蚤从无限二维整数格点上的 开始，进行有偏随机游走：每一步，它以 1/4 的概率向北或向南跳，以 的概率向东跳，以 的概率向西跳。 跳蚤在其游走过程中返回 (0, 0) 的概率为 1/2。 是什么？

解由求解下式给出

其中 是第一类完全椭圆积分。 等价地，它由以下方程的根给出

其中 是算术-几何平均值。

它也可以通过求解 给出，其中

(Bornemann 2002)。

7. 令 为 矩阵，其条目在所有位置都为零，除了主对角线上的素数 2, 3, 5, 7, ..., 224737 以及所有位置 中为 1 的数字，其中 , 2, 4, 8, ..., 16384。 的 (1, 1) 项是什么？

这个问题可以精确求解，得到一个有理数，其分子和分母各有 位数字

(Wagon 2004)。

8. 一个正方形板 的温度为 。 在时间 时，温度沿四个边中的一个边增加到 ，同时沿其他三个边保持在 ，然后热量根据 流入板中。 板中心处的温度何时达到 ？

给出 10 位正确数字的表达式由下式给出

其中 是一个多项式根。 获得更高的精度需要使用级数的更多项。

9. 积分 取决于参数 。 在 中的哪个 值处， 达到其最大值？

通过进行变量替换 ，积分可以转化为

通过绘图，可以看到最大值出现在 附近，并且可以使用标准的求根技术来高精度地确定它。

10. 一个位于 10×1 矩形中心的粒子进行布朗运动（即，步长无穷小的二维随机游走），直到它到达边界。 它在端点而不是侧面击中的概率是多少？ 令人惊讶的是，这个问题有一个闭式解，由下式给出

其中 是椭圆 lambda 函数（参见 Bailey 等人，2007 年，第 48 页）。

解决方案总结在下表中。