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整数格点

LatticePoints

在正方形阵列中规则排列的点阵列，即坐标为 (m,n,...) 的点，其中 m, n, ... 是整数。 这样的阵列通常被称为网格或网状结构，是点格点的一个特例。

正如 Castellanos (1988, pp. 155-156) 推导出的那样，从原点可见的格点比例是

(N^'(r))/(N(r))=((24)/(pi^2)r^2+O(rlnr))/(4r^2+O(r))
(1)
=(6/(pi^2)+O((lnr)/r))/(1+O(1/r))
(2)
=6/(pi^2).
(3)

因此，这也是两个随机选择的整数将互质的概率。

可以选取不共圆的 n^2 格点 x,y in [1,n] 的数量是 O(n^(2/3)-epsilon) (Guy 1994, p. 241)。

PointLatticeParallelograms

在格点上，任意两条对边长度均为 1 的平行四边形，其面积为单位面积（Hilbert 和 Cohn-Vossen 1999, pp. 33-34）。

在规则格点上定义的一组特殊多边形是 golygons。 线性变换将格点变换为自身的充要条件是它是幺模的。 M. Ajtai 已经证明，除非存在针对所有生成向量的高效算法（目前尚无已知算法），否则不存在用于查找格点中一组生成向量的任何一部分（具有最短长度）的高效算法。 此结果在密码学和身份验证方面具有潜在的应用（Cipra 1996）。

另请参阅

格点, 三点不共线问题, 点格点

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参考文献

Apostol, T. 解析数论导论。 New York: Springer-Verlag, 1995.Castellanos, D. "无处不在的 Pi。" Math. Mag. 61, 67-98, 1988.Cipra, B. "格点可能使安全代码更稳固。" Science 273, 1047-1048, 1996.Eppstein, D. "格点理论和数几何。" http://www.ics.uci.edu/~eppstein/junkyard/lattice.html.Gardner, M. "整数格点。" Ch. 21 in 《科学美国人》的第六本数学游戏书。 Chicago, IL: University of Chicago Press, pp. 208-219, 1984.Guy, R. K. "高斯格点问题"、"具有不同距离的格点"、"不共圆的格点" 和 "三点不共线问题"。 §F1, F2, F3, and F4 in 数论中的未解决问题，第二版。 New York: Springer-Verlag, pp. 240-244, 1994.Hammer, J. 关于格点中的未解决问题。 London: Pitman, 1977.Hilbert, D. and Cohn-Vossen, S. "点的规则系统。" Ch. 2 in 几何与想象。 New York: Chelsea, pp. 32-93, 1999.Knupp, P. and Steinberg, S. 网格生成基础。 Boca Raton, FL: CRC Press, 1994.Nagell, T. "格点和点格点。" §11 in 数论导论。 New York: Wiley, pp. 32-34, 1951.Thompson, J. F.; Soni, B.; and Weatherill, N. 网格生成手册。 Boca Raton, FL: CRC Press, 1998.

在 Wolfram|Alpha 中被引用

整数格点

请引用为

Weisstein, Eric W. "整数格点。" 来自 MathWorld--Wolfram Web 资源。 https://mathworld.net.cn/IntegerLattice.html

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