同伦群将基本群推广到来自更高维度球体的映射，而不是来自圆的映射。
阶同伦群，对于拓扑空间 
，是来自n-维球面到
的映射的同伦类的集合，具有群结构，并表示为 
。基本群是 
，并且，如在
的情况下，映射 
必须通过基点 
。对于 
，同伦群 
是一个阿贝尔群。
群运算不像基本群的运算那样简单。考虑两个映射 
和 
，它们都通过 
。乘积 
通过将赤道映射到基点 
给出。然后将北半球通过将赤道坍缩为一个点映射到球面，然后再通过 
映射到 
。南半球类似地通过 
映射到 
。上面的图示显示了两个球面的乘积。
单位元由常值映射 
表示。基本群中环路方向的选择对应于同伦群中 
的流形定向。因此，映射 
的逆映射通过切换球面的定向给出。通过在 
坐标中描述球面，切换第一和第二坐标会改变球面的定向。或者作为超曲面，
，切换定向会反转内部和外部的角色。上面的图示表明 
与常值映射同伦，即单位元。它首先通过扩展 
中的赤道开始，然后将结果映射收缩到基点。
与基本群一样，同伦群不依赖于基点的选择。但是，高阶同伦群始终是阿贝尔群。上面的图示显示了 
的一个示例。基点是固定的，并且因为 
映射可以旋转。当 
，即基本群时，在保持基点固定的同时旋转映射是不可能的。
对于所有 
，
的空间称为 
-连通的。如果 
是 
-连通的，
，那么从
阶同伦群到
阶同调群的胡列维茨同态 
是一个同构。
当 
是一个连续映射时，则通过取 
下的像来定义 
，其中像是 
中的球面。前推是自然的，即，只要定义了两个映射的组合，
。实际上，给定一个纤维化，
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是 |
