主题
Search

哈达玛矩阵

下载 Mathematica Notebook下载 Wolfram Notebook
HadamardMatrices

哈达玛矩阵是一种由西尔维斯特 (1867) 以 anallagmatic pavement 的名称发明的方 (-1,1)-矩阵，比哈达玛 (1893) 考虑它们早 26 年。在哈达玛矩阵中，将任意两列或两行并排放置，会使一半相邻单元格具有相同的符号，另一半具有不同的符号。当被视为铺路时，值为 1 的单元格着黑色，值为 -1 的单元格着白色。因此，n×n 哈达玛矩阵 H_n 必须有 n(n-1)/2 个白色方块 (-1s) 和 n(n+1)/2 个黑色方块 (1s)。

阶数为 n 的哈达玛矩阵是 哈达玛最大行列式问题 的解，即，具有任何 n×n 复矩阵 的元素 |a_(ij)|<=1 的最大可能行列式（绝对值）（Brenner 和 Cummings 1972），即 n^(n/2)。哈达玛矩阵的等效定义由下式给出

H_nH_n^(T)=nI_n,
(1)

其中 I_n 是 n×n 单位矩阵。

阶数为 4n+4 的哈达玛矩阵对应于一个 哈达玛设计 (4n+3, 2n+1, n)，并且一个哈达玛矩阵 H_n 给出了一个在 4n 个顶点上的图，称为 哈达玛图

HadamardWalshArrays

一组完整的 2^n 阶为 n 的 Walsh 函数 给出了一个哈达玛矩阵 H_(2^n) (Thompson et al. 1986, p. 204; Wolfram 2002, p. 1073)。哈达玛矩阵可用于制作纠错码，特别是Reed-Muller 纠错码。

如果已知 H_n 和 H_m，则可以通过将 H_m 中所有 1 替换为 H_n，并将所有 -1s 替换为 -H_n 来获得 H_(nm)。对于 n<=100，阶数为 n=12、20、28、36、44、52、60、68、76、84、92 和 100 的哈达玛矩阵无法从较低阶的哈达玛矩阵构建出来。

H_2=[1 1; -1 1]
(2)
H_4=[H_2 H_2; -H_2 H_2]
(3)
=[[1 1; -1 1] [1 1; -1 1]; -[1 1; -1 1] [1 1; -1 1]]
(4)
=[1 1 1 1; -1 1 -1 1; -1 -1 1 1; 1 -1 -1 1].
(5)

H_8 可以类似地从 H_4 生成。

HadamardPaley

哈达玛 (1893) 指出，哈达玛矩阵存在的必要条件是 n=1、2 或 4 的正倍数 (Brenner 和 Cummings 1972)。佩利定理 保证，当 n 可被 4 整除且形式为 2^e(p^m+1) 时，总是存在哈达玛矩阵 H_n，其中 m 为正整数，e 为非负整数，p 为奇素数。在这种情况下，可以使用 佩利构造 来构造矩阵，如上所示（Wolfram 2002, p. 1073）。n=4、8、... 的佩利类的数量分别为 2、3、2、3、2、3、2、4、1、... (OEIS A074070)。没有佩利类的 n 值（因此无法使用佩利构造进行构造）为 92、116、156、172、184、188、232、236、260、268、... (OEIS A046116)。

Hadamard 428x428 matrix

据推测，对于所有可被 4 整除 的 n，H_n 都存在。Sawade (1985) 构造了 H_(268)。截至 1993 年，已知所有可被 4 整除且小于 n<428 的 n 的哈达玛矩阵 (Brouwer et al. 1989, p. 20; van Lint and Wilson 1993)。随后构造了 H_(428) (Kharaghani 和 Tayfeh-Rezaie 2004)，如上所示，最小的未知阶数是 668。然而，对一般猜想的证明仍然是编码理论中的一个重要问题。对于 n=1、2、...，阶数为 4n 的不同哈达玛矩阵的数量分别为 1、1、1、5、3、60、487、... (OEIS A007299; Wolfram 2002, p. 1073)。Djoković (2009) 校正了 Colbourn 和 Dinitz (2007) 中的列表，并发现了四个先前未知的 n<10^4 可被 4 整除的情况，在这些情况下可以构造哈达玛矩阵：764、23068、28324、32996。

另请参阅

哈达玛设计, 哈达玛图, 哈达玛最大行列式问题, 整数矩阵, 佩利类, 佩利构造, 佩利定理, Reed-Muller 纠错码, Walsh 函数

使用 Wolfram|Alpha 探索

参考文献

Ball, W. W. R. 和 Coxeter, H. S. M. Mathematical Recreations and Essays, 13th ed. New York: Dover, pp. 107-109 和 274, 1987.Barrau, J. A. "Die Zentrische Zerlegung der Regularen Polytope." Nieuw Arch. voor Wisk. 7, 250-270, 1906.Beth, T.; Jungnickel, D.; 和 Lenz, H. Design Theory. New York: Cambridge University Press, 1986.Brenner, J. 和 Cummings, L. "The Hadamard Maximum Determinant Problem." Amer. Math. Monthly 79, 626-630, 1972.Brouwer, A. E.; Cohen, A. M.; 和 Neumaier, A. "Hadamard Matrices." §1.8 in Distance Regular Graphs. New York: Springer-Verlag, pp. 19-20, 1989.Colbourn, C. J. 和 Dinitz, J. H. (Eds.). CRC Handbook of Combinatorial Designs, 2nd ed. Boca Raton, FL: CRC Press, pp. 278-279, 2007.Craigen, R. "Hadamard Matrices and Designs." Ch. 24 in CRC Handbook of Combinatorial Designs (Ed. C. J. Colbourn 和 J. H. Dinitz). Boca Raton, FL: CRC Press, pp. 370-377, 1996.Djoković, D. Z. "Hadamard Matrices of Small Order and Yang Conjecture." Dec. 27, 2009. http://arxiv.org/abs/0912.5091.Gardner, M. "Mathematical Games: On the Remarkable Császár Polyhedron and Its Applications in Problem Solving." Sci. Amer. 232, 102-107, May 1975.Geramita, A. V. 和 Seberry, J. Orthogonal Designs: Quadratic Forms and Hadamard Matrices. New York: Dekker, 1979.Golomb, S. W. 和 Baumert, L. D. "The Search for Hadamard Matrices." Amer. Math. Monthly 70, 12-17, 1963.Hadamard, J. "Résolution d'une question relative aux déterminants." Bull. Sci. Math. 17, 240-246, 1893.Hall, M. Combinatorial Theory, 2nd ed. New York: Wiley, 1998.Hedayat, A. 和 Wallis, W. D. "Hadamard Matrices and Their Applications." Ann. Stat. 6, 1184-1238, 1978.Kharaghani, H. 和 Tayfeh-Rezaie, B. "A Hadamard Matrix of Order 428." Preprint, 2004. http://math.ipm.ac.ir/tayfeh-r/papersandpreprints/h428.pdf.Kimura, H. "Classification of Hadamard Matrices of Order 28." Disc. Math. 133, 171-180, 1994.Kimura, H. "Classification of Hadamard Matrices of Order 28 with Hall Sets." Disc. Math. 128, 257-269, 1994. Kitis, L. "Paley's Construction of Hadamard Matrices." http://library.wolfram.com/infocenter/MathSource/499/.Ogilvie, G. A. "Solution to Problem 2511." Math. Questions and Solutions 10, 74-76, 1868.Paley, R. E. A. C. "On Orthogonal Matrices." J. Math. Phys. 12, 311-320, 1933.Ryser, H. J. Combinatorial Mathematics. Buffalo, NY: Math. Assoc. Amer., pp. 104-122, 1963.Sawade, K. "A Hadamard Matrix of Order-268." Graphs Combinatorics 1, 185-187, 1985.Seberry, J. 和 Yamada, M. "Hadamard Matrices, Sequences, and Block Designs." Ch. 11 in Contemporary Design Theory: A Collection of Surveys (Ed. J. H. Dinitz 和 D. R. Stinson). New York: Wiley, pp. 431-560, 1992.Sloane, N. J. A. Sequences A007299/M3736, A046116, 和 A074070 in "The On-Line Encyclopedia of Integer Sequences."Spence, E. "Classification of Hadamard Matrices of Order 24 and 28." Disc. Math 140, 185-243, 1995.Sylvester, J. J. "Thoughts on Orthogonal Matrices, Simultaneous Sign-Successions, and Tessellated Pavements in Two or More Colours, with Applications to Newton's Rule, Ornamental Tile-Work, and the Theory of Numbers." Phil. Mag. 34, 461-475, 1867.Sylvester, J. J. "Problem 2511." Math. Questions and Solutions 10, 74, 1868.Thompson, A. R.; Moran, J. M.; 和 Swenson, G. W. Jr. Interferometry and Synthesis in Radio Astronomy. New York: Wiley, p. 204, 1986.Turyn, R. J. "Hadamard Matrices, Baumert-Hall Units, Four-Symbol Sequences, Pulse Compression, and Surface Wave Encodings." J. Combin. Th. Ser. A 16, 313-333, 1974.van Lint, J. H. 和 Wilson, R. M. A Course in Combinatorics. New York: Cambridge University Press, 1993.Wallis, W. D.; Street, A. P.; 和 Wallis, J. S. Combinatorics: Room Squares, Sum-free Sets, Hadamard Matrices. New York: Springer-Verlag, 1972.Williamson, J. "Hadamard's Determinant Theorem and the Sum of Four Squares." Duke. Math. J. 11, 65-81, 1944.Williamson, J. "Note on Hadamard's Determinant Theorem." Bull. Amer. Math. Soc. 53, 608-613, 1947.Wolfram, S. A New Kind of Science. Champaign, IL: Wolfram Media, p. 1073, 2002.

在 Wolfram|Alpha 中被引用

哈达玛矩阵

请引用为

Weisstein, Eric W. "哈达玛矩阵。" 来自 MathWorld--Wolfram Web 资源。 https://mathworld.net.cn/HadamardMatrix.html

主题分类