Hadamard 图 -- 来自 Wolfram MathWorld

Hadamard 图

一个 -Hadamard 图是一个在个顶点上的图，根据 Hadamard 矩阵 Hadamard 矩阵定义如下。定义个符号、、和，其中代表“行”，代表“列”，并将这些作为图的顶点。然后，对于每个矩阵元素，当时，构造两条边；对于每个矩阵元素，当时，构造两条边 (Brouwer 等人，1989，第 19 页)。

因此，对于每个存在相应 Hadamard 矩阵的值，都存在一个 -Hadamard 图，即、2，并且猜想对于所有可被 4 整除的都存在，截至 2009 年 1 月，最小的不确定值是。给定阶数的 Hadamard 矩阵可能存在多个不同的矩阵，但它们对应的 Hadamard 图不一定是不同的。虽然 4、8、16 等阶数的不同 Hadamard 矩阵的数量分别为 1、1、1、5、3、60、487、...，但对应的非同构 Hadamard 图的数量分别为 1、1、1、4、3、36、294、....

请注意，Hadamard 矩阵的定义似乎有两种变体。特别是，Wallis（1988，第 165 页）要求 Hadamard 图的一半顶点（对应于行）被赋予自环，而其余顶点（对应于列）则不应赋予。相比之下，Brouwer 等人（1989，第 19 页）的定义（本文采用的定义）省略了这种自环。请注意，虽然带有自环的 Hadamard 图可以用作确定 Hadamard 矩阵等价性的工具，但没有自环的 Hadamard 图则不能（L. Baird，私人通信，2008 年 11 月）。

一个 -Hadamard 图是距离正则的，其相交数组为 (Brouwer 等人，1989，第 19 页)。如果是 2 的幂或者，则 -Hadamard 图是距离传递的 (Brouwer 等人，1989，第 227-228 页)。