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韦布尔分布

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韦布尔分布由下式给出

P(x)=alphabeta^(-alpha)x^(alpha-1)e^(-(x/beta)^alpha)
(1)
D(x)=1-e^(-(x/beta)^alpha)
(2)

对于 x in [0,infty)，并在 Wolfram 语言 中实现为WeibullDistribution[alpha, beta]。分布的 原点矩 为

mu_1^'=betaGamma(1+alpha^(-1))
(3)
mu_2^'=beta^2Gamma(1+2alpha^(-1))
(4)
mu_3^'=beta^3Gamma(1+3alpha^(-1))
(5)
mu_4^'=beta^4Gamma(1+4alpha^(-1)),
(6)

均值、方差、偏度 和 峰度超额 分别为

mu=betaGamma(1+alpha^(-1))
(7)
sigma^2=beta^2[Gamma(1+2alpha^(-1))-Gamma^2(1+alpha^(-1))]
(8)
gamma_1=(2Gamma^3(1+alpha^(-1))-3Gamma(1+alpha^(-1))Gamma(1+2alpha^(-1)))/([Gamma(1+2alpha^(-1))-Gamma^2(1+alpha^(-1))]^(3/2))+(Gamma(1+3alpha^(-1)))/([Gamma(1+2alpha^(-1))-Gamma^2(1+alpha^(-1))]^(3/2))
(9)
gamma_2=(f(alpha))/([Gamma(1+2alpha^(-1))-Gamma^2(1+alpha^(-1))]^2),
(10)

其中 Gamma(z) 是 伽玛函数，且

f(alpha)=-6Gamma^4(1+alpha^(-1))+12Gamma^2(1+alpha^(-1))Gamma(1+2alpha^(-1))-3Gamma^2(1+2alpha^(-1))-4Gamma(1+alpha^(-1))Gamma(1+3alpha^(-1))+Gamma(1+4alpha^(-1)).
(11)

分布的略有不同的形式定义为

P(x)=alpha/betax^(alpha-1)e^(-x^alpha/beta)
(12)
D(x)=1-e^(-x^alpha/beta)
(13)

（Mendenhall 和 Sincich 1995）。这具有 原点矩

mu_1^'=beta^(1/alpha)Gamma(1+alpha^(-1))
(14)
mu_2^'=beta^(2/alpha)Gamma(1+2alpha^(-1))
(15)
mu_3^'=beta^(3/alpha)Gamma(1+3alpha^(-1))
(16)
mu_4^'=beta^(4/alpha)Gamma(1+4alpha^(-1)),
(17)

因此，此形式的 均值 和 方差 为

mu=beta^(1/alpha)Gamma(1+alpha^(-1))
(18)
sigma^2=beta^(2/alpha)[Gamma(1+2alpha^(-1))-Gamma^2(1+alpha^(-1))].
(19)

韦布尔分布给出了物体寿命的分布。它最初被提出用于量化疲劳数据，但也用于涉及“最薄弱环节”的系统分析。

另请参阅

极值分布, 耿贝尔分布

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参考文献

Johnson, N.; Kotz, S.; and Balakrishnan, N. Continuous Univariate Distributions, Vol. 2, 2nd ed. New York: Wiley, 1995.Kobayashi, A. (Ed.). Handbook on Experimental Mechanics. New York: VCH/SEM, 1993.Mendenhall, W. and Sincich, T. Statistics for Engineering and the Sciences, 4th ed. Englewood Cliffs, NJ: Prentice Hall, 1995.Spiegel, M. R. Theory and Problems of Probability and Statistics. New York: McGraw-Hill, p. 119, 1992.

在 Wolfram|Alpha 上引用

韦布尔分布

引用为

Weisstein, Eric W. “韦布尔分布。” 来自 MathWorld--Wolfram Web 资源。 https://mathworld.net.cn/WeibullDistribution.html

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