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罗杰斯 L-函数

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RogersLFunction

如果 Li_2(x) 表示通常的 双对数函数，那么有两种变体被稍微不同的归一化，都称为罗杰斯 L-函数（Rogers 1907）。Bytsko (1999) 定义

L(x)=6/(pi^2)[Li_2(x)+1/2lnxln(1-x)]
(1)
=6/(pi^2)[sum_(n=1)^(infty)(x^n)/(n^2)+1/2lnxln(1-x)],
(2)

（他称之为“the” 双对数函数），而 Gordon 和 McIntosh (1997) 以及 Loxton (1991, p. 287) 将罗杰斯 L-函数定义为

L_R(x)=Li_2(x)+1/2lnxln(1-x)
(3)
=(pi^2)/6L(x)
(4)
=[sum_(n=1)^(infty)(x^n)/(n^2)+1/2lnxln(1-x)].
(5)

函数 L(x) 满足简洁的 反射关系

L(x)+L(1-x)=1
(6)

（Euler 1768），以及 阿贝尔函数方程

L(x)+L(y)=L(xy)+L((x(1-y))/(1-xy))+L((y(1-x))/(1-xy))
(7)

（Abel 1988, Bytsko 1999）。 阿贝尔倍乘公式 对于 L(x) 从 阿贝尔函数方程 得出，并由下式给出

1/2L(x^2)=L(x)-L(x/(1+x)).
(8)

该函数具有漂亮的 级数

sum_(k=2)^inftyL(1/(k^2))=1
(9)

（Lewin 1982；Loxton 1991，p. 298）。

用 L(x) 表示，众所周知的双对数函数恒等式变为

L(0)=0
(10)
L(1-rho)=2/5
(11)
L(1/2)=1/2
(12)
L(rho)=3/5
(13)
L(1)=1
(14)

（Loxton 1991，pp. 287 和 289；Bytsko 1999），其中 rho=(sqrt(5)-1)/2。

Khoi (2014) 给出了恒等式

L_R(1/(phi(sqrt(phi)+phi)))-L_R(phi/(sqrt(phi)+phi))=-(pi^2)/(20),
(15)

其中 phi 是 黄金比例 (Khoi 2014, Campbell 2021)。

数字 theta in (0,1) 满足

sum_(k=0)^nc_kL(theta^k)=0
(16)

对于某些 n 值，被称为 L-代数数。Loxton (1991，p. 289) 给出了一系列具有有理系数的恒等式

sum_(k=0)^n(e_k)/kL(theta^k)=c
(17)

而不是整数，其中 c 是一个 有理数，其修正和扩展版本总结在下表中。在该表中，多项式 P(x) 表示 x 的实根。可以使用 整数关系 算法找到更多类似的恒等式。

thetae_kc
111
1/211/2
1/2-1,6,3,0,0,-31/2
1/33,-11
1/2(sqrt(5)-1)13/5
1/2(sqrt(5)-1)1,-1,-12,0,0,6-3/5
(sqrt(5)-2)^(1/3)2,-11
sqrt(2)-12,-13/4
sqrt(2)-11,2,0,-15/8
3-2sqrt(2)5,-21
1/2(sqrt(3)-1)2,1,-15/6
sqrt(3)-12,-3,-1,0,0,11/2
2-sqrt(3)4,1,0,-15/4
2-sqrt(3)5,-3,-1,0,0,14/3
5-2sqrt(6)23,-15,-3,0,0,33
1/2(sqrt(13)-3)4,-2,-2,0,0,17/6
1/6(sqrt(13)-1)3,1,-3,0,0,14/3
1/6(sqrt(13)+1)3,-4,-3,0,0,22/3
4-sqrt(15)15,2,-3,-25/2
1/2(5-sqrt(21))7,-1,-3,0,0,15/3
1/2sec(2/7pi),1,-21/7
1/2sec(1/7pi)1,15/7
2cos(3/7pi)1,14/7
1/2sec(1/9pi)1,2,-17/9
1/2sec(2/9pi)1,-3,-1,0,0,1-1/9
2cos(4/9pi)1,-3,-1,0,0,11/9
x^3+2x-11,5,0,-41
x^3+2x-13,1,12,0,0,-62
2x^3+x-12,1,3,-23/2
x^3+x-12,6,3,0,0,-33
x^3-3x^2+4x-15,-9,-6,0,0,61
x^3+x^2-11,6,6,0,0,-62
x^3+x^2+x-11,1,-31/2
x^3+x^2+x-12,3,0,-23/2

Bytsko (1999) 给出了额外的恒等式

L(lambda^(-2))+L((lambda^2-1)^(-2))=4/7
(18)
L(lambda^(-2))+L((1+lambda)^(-1))=5/7
(19)
L(1-1/(sqrt(2)))+L(sqrt(2)-1)=3/4
(20)
L(sqrt(rho))+L(1/(1+sqrt(rho)))=(13)/(11)
(21)
L(1/2-1/2rho)+L(2rho-1)=1/2
(22)
L(1-1/2rho-1/2sqrt(7rho-3))+L(1/2sqrt(28rho+45)-2rho-5/2)=2/5
(23)
L(1-delta^2)+L((1+delta)^(-2))=2/5
(24)
L(3/2-1/2sqrt(2)-1/2sqrt(2sqrt(2)-1))+L((3/2+sqrt(2))sqrt(2sqrt(2)-1)-3/2-3/2sqrt(2))=1/2
(25)
L(nu)-L(mu^(-1))=1/7
(26)

其中

lambda=2cos(pi/7)
(27)
rho=(sqrt(5)-1)/2
(28)
delta=1/2(sqrt(3+2sqrt(5))-1),
(29)

其中 delta 是

delta^4+delta^3-delta-1=0
(30)

的正根，0<nu<1 和 mu>1 是

t^6-7t^5+19t^4-28t^3+20t^2-7t+1=0.
(31)

的实根。这里，(◇) 和 (◇) 是 沃森恒等式 的特殊情况，而 (◇) 是 阿贝尔倍乘公式 的特殊情况，其中 x=1/sqrt(2) (Gordon 和 McIntosh 1997, Bytsko 1999)。

Rogers (1907) 获得了 m 变量中的双对数函数恒等式，其中有 m^2+1 项，当 m=1 时简化为欧拉恒等式，当 m=2 时简化为 阿贝尔函数方程 (Gordon 和 McIntosh 1997)。对于 m=3，它等价于

L(a)+L(b)+L(c)-L(u)-L(v) =L(abc)+L(ac/u)+L(bc/v)-L(av/u)-L(bu/v),
(32)

其中

av(1-bc)+bu(1-ac)=uv(1-ab)
(33)
v(1-a)+u(1-b)=1-abc
(34)

(Gordon 和 McIntosh 1997)。

另请参阅

阿贝尔倍乘公式, 阿贝尔函数方程, 双对数函数, 反正切积分, L-代数数, Landen 恒等式, Spence 函数, Spence 积分, 沃森恒等式

使用 探索

参考文献

Abel, N. H. Oeuvres Completes, Vol. 2 (Ed. L. Sylow and S. Lie). New York: Johnson Reprint Corp., pp. 189-192, 1988.Bytsko, A. G. "Fermionic Representations for Characters of M(3,t), M(4,5), M(5,6) and M(6,7) Minimal Models and Related Dilogarithm and Rogers-Ramanujan-Type Identities." J. Phys. A: Math. Gen. 32, 8045-8058, 1999.Bytsko, A. G. "Two-Term Dilogarithm Identities Related to Conformal Field Theory." 9 Nov 1999. http://arxiv.org/abs/math-ph/9911012.Campbell, J. M. "Some Nontrivial Two-Term Dilogarithm Identities." Irish Math. Soc. Bull., No. 88, 31-37, 2021.Euler, L. Institutiones calculi integralis, Vol. 1. Basel, Switzerland: Birkhäuser, pp. 110-113, 1768.Gordon, B. and McIntosh, R. J. "Algebraic Dilogarithm Identities." Ramanujan J. 1, 431-448, 1997.Khoi, V. T. "Seifert Volumes and Dilogarithm Identities." J. Knot Th. Ram. 23, 1450025, 11, 2014.Lewin, L. "The Dilogarithm in Algebraic Fields." J. Austral. Math. Soc. (Ser. A) 33, 302-330, 1982.Lewin, L. (Ed.). Structural Properties of Polylogarithms. Providence, RI: Amer. Math. Soc., 1991.Loxton, J. H. "Partition Identities and the Dilogarithm." Ch. 13 in Structural Properties of Polylogarithms (Ed. L. Lewin). Providence, RI: Amer. Math. Soc., pp. 287-299, 1991.Rogers, L. J. "On Function Sum Theorems Connected with the Series sum_1^(infty)x^n/n^2." Proc. London Math. Soc. 4, 169-189, 1907.Watson, G. N. "A Note on Spence's Logarithmic Transcendent." Quart. J. Math. Oxford Ser. 8, 39-42, 1937.

在 中被引用

罗杰斯 L-函数

引用为

Weisstein, Eric W. "罗杰斯 L-函数。" 来自 Web 资源。 https://mathworld.net.cn/RogersL-Function.html

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