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L-代数数

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一个 L-代数数是一个数 theta in (0,1)，它满足

sum_(k=0)^nc_kL(theta^k)=0,
(1)

其中 L(x) 是 Rogers L-函数，并且 c_k 是不全为 0 的整数（Gordon 和 Mcintosh 1997）。Loxton (1991, p. 289) 给出了一系列具有有理系数的类似恒等式

sum_(k=0)^n(e_k)/kL(theta^k)=0
(2)

而不是整数。

唯一已知的 1 阶 L-代数数是

L(0)=0
(3)
L(1-rho)=2/5
(4)
L(1/2)=1/2
(5)
L(rho)=3/5
(6)
L(1)=1
(7)

(Loxton 1991, pp. 287 和 289; Bytsko 1999)，其中 rho=(sqrt(5)-1)/2。

唯一已知的有理 L-代数数是 1/2 和 1/3

L(1/(64))-2L(1/8)-6L(1/4)+2L(1)=0
(8)
L(1/9)-6L(1/3)+2L(1)=0
(9)

(Lewin 1982, pp. 317-318; Gordon 和 McIntosh 1997)。

存在许多已知的二次 L-代数数。Watson (1937) 发现

L(alpha)-L(alpha^2)=1/7
(10)
2L(beta)+L(beta^2)=(10)/7
(11)
2L(gamma)+L(gamma^2)=8/7,
(12)

其中 alpha、-beta 和 -1/gamma 是以下方程的根

x^3+2x^2-x-1=0,
(13)

因此

alpha=1/2sec(2/7pi)
(14)
beta=1/2sec(1/7pi)
(15)
gamma=2cos(3/7pi)
(16)

(Loxton 1991, pp. 287-288)。这些被称为 Watson 恒等式。

更高阶的代数恒等式包括

5L(delta^3)-5L(delta)+L(1)=0
(17)
L(delta^(12))-2L(delta^6)-6L(delta^4)+4L(delta^3)+3L(delta^2)+4L(delta)
(18)
-4L(1)=0
(19)
3L(kappa^3)-9L(kappa^2)-9K(kappa)+7L(1)=0
(20)
3L(lambda^6)-6L(lambda^3)-27L(lambda^2)+18L(lambda)+2L(1)=0
(21)
3L(mu^6)-6L(mu^3)-27L(mu^2)+18L(mu)-2L(1)=0
(22)
2L(a^3)-2L(a^2)-11L(a)+3L(1)=0
(23)
2L(b^6)-4L(b^3)-15L(b^2)+22L(b)-6L(1)=0
(24)
2L(c^6)-4L(c^3)-15L(c^2)+22L(c)-4L(1)=0,
(25)

其中

delta=1/2(sqrt(3+2sqrt(5))-1)
(26)
kappa=1/2sec(1/9pi)
(27)
lambda=1/2sec(2/9pi)
(28)
mu=2cos(4/9pi)
(29)
a=2sqrt(3)cos((5pi)/(18))-2
(30)
b=2sqrt(3)cos((11pi)/(18))+2
(31)
c=2sqrt(3)cos((7pi)/(18))-1
(32)

(Gordon 和 McIntosh 1997)。

参见

双对数函数, Rogers L-函数, Watson 恒等式

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参考文献

Bytsko, A. G. "Two-Term Dilogarithm Identities Related to Conformal Field Theory." 1999年11月9日. http://arxiv.org/abs/math-ph/9911012.Gordon, B. 和 McIntosh, R. J. "Algebraic Dilogarithm Identities." Ramanujan J. 1, 431-448, 1997.Lewin, L. "The Dilogarithm in Algebraic Fields." J. Austral. Math. Soc. Ser. A 33, 302-330, 1982.Lewin, L. (Ed.). 多重对数函数的结构性质。 Providence, RI: Amer. Math. Soc., 1991.Loxton, J. H. "Special Values of the Dilogarithm Function." Acta Arith. 43, 155-166, 1984.Loxton, J. H. "Partition Identities and the Dilogarithm." 第 13 章，在 多重对数函数的结构性质 (L. Lewin 编辑). Providence, RI: Amer. Math. Soc., pp. 287-299, 1991.Watson, G. N. "A Note on Spence's Logarithmic Transcendent." Quart. J. Math. Oxford Ser. 8, 39-42, 1937.

在 Wolfram|Alpha 上引用

L-代数数

引用为

Weisstein, Eric W. "L-代数数。" 来自 MathWorld--Wolfram Web 资源。 https://mathworld.net.cn/L-AlgebraicNumber.html

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