阻尼简谐运动

在简谐运动方程中加入一个与成正比的阻尼力，即对时间的第一次导数，阻尼简谐运动的运动方程为

(1)

其中是阻尼常数。例如，这个方程出现在电子CLR电路（包含电容器、电感器和电阻器）中电流流动的分析中。由两个相互垂直的阻尼谐振子产生的曲线称为谐波图，如果，则简化为李萨如图形。

阻尼谐振子可以通过寻找以下形式的试探解来求解。将其代入到方程 (1) 得到

(2)

(3)

这是一个二次方程，其解为

(4)

因此，根据平方根内数量的符号，存在三种解的区域，

(5)

下表总结了这三个区域。

	区域
	欠阻尼
	临界阻尼
	过阻尼

如果在角频率处添加一个周期性（正弦）强迫项，则再次获得相同的三个解的区域。令人惊讶的是，由此产生的运动仍然是周期性的（在初始瞬态响应，对应于无强迫情况的解，消失之后），但是它的振幅与强迫振幅不同。

对于强迫二阶非齐次常微分方程，特解为

(6)

由于强迫项，可以使用参数变分法找到，由以下方程给出

(7)

其中和是无强迫方程的齐次解

(8)

并且是这两个函数的朗斯基行列式。一旦解决了正弦强迫的情况，就可以通过将周期函数表示为傅里叶级数，将其推广到任何周期函数。