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过阻尼简谐运动

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SHOOverdamped

过阻尼简谐运动是 阻尼简谐运动 的一种特殊情况

x^..+betax^.+omega_0^2x=0,
(1)

其中

beta^2-4omega_0^2>0.
(2)

因此

D=beta^2-4omega_0^2>0.
(3)
x_1=e^(r_-t)
(4)
x_2=e^(r_+t),
(5)

其中

r_+/-=1/2(-beta+/-sqrt(beta^2-4omega_0^2)).
(6)

因此，通解为

x=Ae^(r_-t)+Be^(r_+t),
(7)

其中 A 和 B 是常数。 初始值为

x(0)=A+B
(8)
x^.(0)=Ar_-+Br_+,
(9)

所以

A=x(0)-(r_-x(0)-x^.(0))/(r_--r_+)
(10)
B=(r_-x(0)-x^.(0))/(r_--r_+).
(11)

上图显示了一个过阻尼简谐振子，参数为 omega=0.3, beta=0.075 和三个不同的初始条件 (A,B)。

对于一个余弦力驱动的过阻尼振荡器，驱动函数为 g(t)=Ccos(omegat), 即

x^..+betax^.+omega_0^2x=Ccos(omegat),
(12)

通解为

x_1(t)=e^(r_1t)
(13)
x_2(t)=e^(r_2t),
(14)

其中

r_1=1/2(-beta+sqrt(beta^2-4omega_0^2))
(15)
r_2=1/2(-beta-sqrt(beta^2-4omega_0^2)).
(16)

这些给出恒等式

r_1+r_2=-beta
(17)
r_1-r_2=sqrt(beta^2-4omega_0^2)
(18)

和

omega_0^2=1/4[beta-(r_1-r_2)^2]
(19)
=r_1r_2.
(20)

现在我们可以使用参数变分法来获得特解为

x^*=x_1v_1+x_2v_2,
(21)

其中

v_1=-int(x_1(t)g(t))/(W(t))
(22)
v_2=int(x_2(t)g(t))/(W(t))
(23)

朗斯基行列式为

W(t)=x_1x^._2-x^._1x_2
(24)
=(r_2-r_1)e^((r_1+r_2)t).
(25)

这些可以直接积分得到

v_1=-C/(r_2-r_1)(omegasin(omegat)-r_2cos(omegat))/(e^(r_2t)(r_2^2+omega^2))
(26)
v_2=C/(r_2-r_1)(omegasin(omegat)-r_1cos(omegat))/(e^(r_1t)(r_2^2+omega^2)).
(27)

积分、代入和简化后得到

x^*(t)=C(cos(omegat)(r_1r_2-omega^2)-sin(omegat)omega(r_1+r_2))/((r_1^2+omega^2)(r_2^2+omega^2))
(28)
=C/(sqrt(beta^2omega^2+(omega^2-omega_0^2)^2))cos(omegat+delta),
(29)

其中使用了和角公式以及

delta=tan^(-1)((betaomega)/(omega^2-omega_0^2)).
(30)

另请参阅

临界阻尼简谐运动, 阻尼简谐运动, 简谐运动, 欠阻尼简谐运动

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参考文献

Papoulis, A. 概率、随机变量和随机过程，第二版 纽约：麦格劳-希尔, pp. 527-528, 1984.

引用本文为

韦斯坦因，埃里克·W. "过阻尼简谐运动。" 来自 MathWorld——Wolfram Web 资源。 https://mathworld.net.cn/OverdampedSimpleHarmonicMotion.html

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