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临界阻尼简谐运动

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SHOCriticallyDamped

临界阻尼是阻尼简谐运动的一个特例

x^..+betax^.+omega_0^2x=0,
(1)

其中

D=beta^2-4omega_0^2=0,
(2)

其中 beta 是阻尼常数。因此

beta=2omega_0.
(3)

在这种情况下，D=0 因此 形式为 x=e^(rt) 的解满足

r_+/-=1/2(-beta)=-1/2beta=-omega_0.
(4)

因此，其中一个解是

x_1=e^(-omega_0t).
(5)

为了找到另一个线性独立的解，我们可以利用恒等式

x_2(t)=x_1(t)int(e^(-intp(t)dt))/([x_1(t)]^2)dt.
(6)

由于我们有 p(t)=2omega_0, e^(-intp(t)dt) 简化为 e^(-2omega_0t)。因此，方程 (6) 变为

x_2(t)=e^(-omega_0t)int(e^(-2omega_0t))/([e^(-omega_0t)]^2)dt=e^(-omega_0t)intdt=te^(-omega_0t).
(7)

因此，通解为

x=(A+Bt)e^(-omega_0t).
(8)

用常数 A 和 B 表示，初始值为

x(0)=A
(9)
x^.(0)=B-Aomega,
(10)

因此

A=x(0)
(11)
B=x^.(0)+omega_0x(0).
(12)

上图显示了一个临界阻尼简谐振荡器，其中 omega=0.3, beta=0.15，适用于各种初始条件 (A,B)。

对于具有临界阻尼的正弦受迫简谐运动，运动方程为

x^..+2omega_0x^.+omega_0^2x=Ccos(omegat),
(13)

而 朗斯基行列式为

W(t)=x_1x^._2-x^._1x_2
(14)
=e^(-2omega_0t).
(15)

将其代入特解方程得到

x^*(t)=-e^(-omega_0t)int(te^(-omega_0t)Acos(omegat))/(e^(-2omega_0t))dt+te^(-omega_0t)int(e^(-omega_0t)Acos(omegat))/(e^(-2omega_0t))dt
(16)
=A/((omega^2+omega_0^2)^2)[(omega_0^2-omega^2)cos(omegat)+2omegaomega_0sin(omegat)].
(17)

然后应用和角公式得到

x^*(t)=A/(omega^2+omega_0^2)cos(omegat+delta),
(18)

其中

delta=tan^(-1)((2omegaomega_0)/(omega^2-omega_0^2))
(19)

另请参阅

阻尼简谐运动, 过阻尼简谐运动, 简谐运动, 欠阻尼简谐运动

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参考文献

Papoulis, A. Probability, Random Variables, and Stochastic Processes, 2nd ed. New York: McGraw-Hill, p. 528, 1984.

请引用为

Weisstein, Eric W. "临界阻尼简谐运动。" 来自 MathWorld--Wolfram Web 资源。 https://mathworld.net.cn/CriticallyDampedSimpleHarmonicMotion.html

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