线积分

一个向量场 在曲线 上的线积分定义为

(1)

其中 表示 点积。 在笛卡尔坐标系中，线积分可以写成

(2)

其中

(3)

对于 复数 和 在由 参数化的 复平面 中的路径，

(4)

庞加莱定理指出，如果 在点 的单连通邻域 中，则在这个邻域中， 是一个标量场 的梯度，

(5)

对于 ，其中 是梯度算子。 因此，梯度定理给出

(6)

对于完全位于 内，从 开始到 结束的任何路径 。

这意味着如果 （即， 在某个区域中是无旋场），那么线积分在这个区域中是路径无关的。 如果需要，因此可以在起点和终点之间选择笛卡尔路径以给出

(7)

如果 （即， 是一个无散度场，又名螺线场），那么存在一个向量场 使得

(8)

其中 在梯度场范围内是唯一确定的（并且可以选择使得 ）。