圆格点

对于每个 正整数 ，都存在一个 圆，其内部恰好包含 个格点。 H. Steinhaus 证明了对于每个 正整数 ，都存在一个 圆，其 面积 为 ，且内部恰好包含 个格点。

辛泽尔定理 表明，对于每个 正整数 ，都存在一个 圆，位于 平面 上，其 圆周 上恰好有 个 格点。 该定理还明确指出了这样的“辛泽尔圆”为

(1)

但是请注意，这些解不一定具有最小可能的 半径。 例如，虽然中心位于 (1/3, 0) 且 半径 为 625/3 的 辛泽尔圆 的 圆周 上有九个格点，但中心位于 (1/3, 0) 且 半径 为 65/3 的 圆 也是如此。

设 为中心位于 原点 (0, 0) 且具有 个 格点 的 圆 的最小 整数 半径。 为了找到 圆 的格点数，只需找到第一象限中的数量，即那些满足 的点，其中 是 向下取整函数。 称此数为 ，那么对于 ，，因此 。 乘以八计算了所有八个象限，减去四消除了轴上的点，因为乘法将轴上的点计算了两次。（由于 是 无理数，因此弧的中点永远不是 格点。）

高斯圆问题 询问 半径 为 的 圆 *内部* 的格点数

(2)

高斯证明了

(3)

其中

(4)

中心位于 (0, 0) 的半径为 的圆的 圆周 上的格点数为 ，其中 是 平方和函数。 半径为 0, 1, 2, ... 且中心位于原点的圆的圆周上的格点数因此为 1, 4, 4, 4, 4, 12, 4, 4, 4, 4, 12, 4, 4, ... (OEIS A046109)。

下表给出了半径 的最小值，对于中心位于 (0, 0) 且具有给定数量的 格点 的圆 (OEIS A006339)。 请注意， 也是 个不同的 勾股三元组 的最小斜边。 格点的高水位数为 1, 5, 25, 125, 3125, ... (OEIS A062875)，相应的半径为 4, 12, 20, 28, 44, ... (OEIS A062876)。

如果 圆 的中心改为 (1/2, 0)，则 半径 为 1/2、3/2、5/2、... 的 圆 的 圆周 上有 2、2、6、2、2、2、6、6、6、2、2、2、10、2、... (OEIS A046110)。 如果 圆 的中心改为 (1/3, 0)，则 半径 为 1/3、2/3、4/3、5/3、7/3、8/3、... 的 圆 的 圆周 上的格点数为 1、1、1、3、1、1、3、1、3、1、1、3、1、3、1、1、5、3、... (OEIS A046111)。

设

1. 为中心位于 (0, 0) 且 圆周 上有 个格点的 圆 的 半径，

2. 为中心位于 (1/2, 0) 且 圆周 上有 个格点的 圆 的 半径，

3. 为中心位于 (1/3, 0) 且 圆周 上有 个格点的 圆 的 半径。

那么序列 、 和 是相等的，除了当 如果 时， 如果 时。 然而，在三种情况下，具有上述格点数的*最小*半径序列是相等的，并由 1、5、25、125、65、3125、15625、325、... (OEIS A006339) 给出。

库利科夫斯基定理 指出，对于每个 正整数 ，都存在一个三维 球体，其表面上恰好有 个 格点。 该 球体 由以下公式给出

(5)

其中 和 是所谓的 辛泽尔圆 的中心的坐标， 是其 半径 (Honsberger 1973)。