自然方程

自然方程是一种不依赖于任何坐标系或参数化选择来指定曲线的方程。自然方程的研究始于以下问题：给定一个参数的两个函数，找到一个空间曲线，使得这两个函数分别是该曲线的曲率和挠率。

欧拉给出了平面曲线的积分解（平面曲线的挠率 ）。将曲线的切线与 x 轴之间的夹角 称为切线角，则

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其中 是曲率。那么方程

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其中 是挠率，由以下参数方程的曲线解出

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方程 和 被称为空间曲线的自然（或内在）方程。用弧长 和曲率半径 （或 ）表示平面曲线的方程称为 Cesàro 方程，用弧长 和 表示平面曲线的方程称为 Whewell 方程。曲线的自然参数方程用弧长而不是任意参数（如 ）来参数化曲线。

在可以用初等函数求解的特殊平面曲线中，有 圆、对数螺线、圆的渐伸线和 外摆线。恩内珀证明，这些曲线中的每一条都是螺旋线在沿对称轴的旋转圆锥曲面上的投影。上述情况分别对应于 圆柱、圆锥、抛物面和 球体。