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诺伦多项式

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NorlundPolynomial

诺伦多项式（注意拼写 Nörlund 也出现在各种出版物中）是由 Carlitz (1960) 和 Adelberg (1997) 给出的多项式 B_n^((a)) 的名称。 这些在 Wolfram 语言中实现为NorlundB[n, a]，并通过指数生成函数定义

(t/(e^t-1))^a=sum_(n=0)^inftyB_n^((a))(t^n)/(n!)
(1)

(Carlitz 1960)。

涉及 B_n^((a)) 的求和由下式给出

B_k^((a))=sum_(j=0)^(k)(-1)^j(k+1; j+1)B_k^((-ja))
(2)
(-1)^k(z; k)B_k^((k-z))=sum_(k=0)^(k)(j+k-1; k)(k-z; j+k)(k+z; k-j)B_k^((j+k))
(3)

(Carlitz 1960, Gould 1960)。

诺伦多项式通过下式与斯特林数相关

s(n,n-k)=(n-1; k)B_k^((n))
(4)

和

S(k+n,n)=(k+n; k)B_k^((-n))
(5)

(Carlitz 1960)。

诺伦多项式是以下函数的特例

B_n^((a))=B_n^((a))(0)
(6)

函数 B_n^((a))(x) 有时被称为广义伯努利多项式，在 Wolfram 语言中实现为NorlundB[n, a, z]。 这些多项式通过指数生成函数定义

(t/(e^t-1))^ae^(zt)=sum_(n=0)^inftyB_n^((a))(z)(t^n)/(n!).
(7)

对于小的正整数 n 和 a 的值由下式给出

B_1^((1))(x)=x-1/2
(8)
B_1^((2))(x)=x-1
(9)
B_1^((3))(x)=x-3/2
(10)
B_2^((1))(x)=x^2-x+1/6
(11)
B_2^((2))(x)=x^2-2x+5/6
(12)
B_2^((3))(x)=(1-x)(2-x)
(13)
B_3^((1))(x)=x^3-3/2x^2+1/2x
(14)
B_3^((2))(x)=x^3-3x^2+5/2x-1/2
(15)
B_3^((3))(x)=x^3-9/2x^2+6x-9/4.
(16)

多项式 B_n^((a))(x) 的导数为

(dB_n^((a))(x))/(dx)=nB_(n-1)^((a))(x)
(17)

和麦克劳林级数

B_n^((a))(x)=B_n^((a))+nB_(n-1)^((a))x+1/2n(n-1)B_(n-2)^((a))x^2+....
(18)

其中 B_n^((a)) 是关于 a 的多项式。

另请参阅

伯努利多项式

相关 Wolfram 网站

http://functions.wolfram.com/Polynomials/NorlundB/

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参考文献

Adelberg, A. "Nörlund [原文如此] 多项式 B_n(x) 的算术性质。" 1997 年 10 月 28 日。 http://citeseer.ist.psu.edu/44033.html。Carlitz, L. "关于 Nörlund [原文如此] 多项式 B_n^((z)) 的注释。" Proc. Amer. Math. Soc. 11, 452-455, 1960.Gould, H. W. "斯特林数表示问题。" Proc. Amer. Math. Soc. 11, 447-451, 1960.Nörlund, N. E. [原文如此]. 差分方程讲义。 柏林：Springer-Verlag, 1924.

参考

诺伦多项式

引用为

Weisstein, Eric W. "诺伦多项式。" 来自 Web 资源。 https://mathworld.net.cn/NorlundPolynomial.html

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