Banach-Saks 定理

Banach-Saks 定理是泛函分析中的一个结果，它证明了对于任何函数序列 ，如果序列的元素具有某些其他收敛性和可积性性质，则存在“良好收敛”的子序列。由于 Mazur 对原始结果的推广，该定理有时也被称为 Banach-Saks-Mazur 定理。

为了精确地陈述结果，设 是一个实数，满足 ，设 是 上的“足够好的”测度（例如，标准的勒贝格测度 ），并设 是 中的函数序列，它弱收敛于函数 。 Banach-Saks 定理指出，序列 必然有一个子序列 ，对于该子序列，所谓的 切萨罗平均

均值收敛到 ，当 趋于无穷大时。

上述 Banach-Saks 定理的版本有许多有用的推论，这些推论在泛函分析中被普遍使用。例如，这个结果意味着 空间中关于均值收敛闭的函数凸集，必然在弱收敛意义上也是闭的。

还应该注意的是，上述内容可以被调整和改写以获得更高的通用性。例如，如果将 替换为 ，并且如果序列 的弱收敛被有界性取代，则上述定理的版本仍然成立。该结果也适用于从 以外的许多空间中选取的序列，例如，对于空间 中的函数序列，该空间由所有具有连续一阶导数的连续实值函数组成，以及对于一致凸巴拿赫空间中的任意有界序列。 Banach-Saks 定理的一个在泛函分析中特别令人关注的情况是用希尔伯特空间的语言表述的，它指出希尔伯特空间 中的每个有界序列 都包含一个子序列 ，其切萨罗平均强收敛于某个点 。 这些结果已被进一步推广到所谓的 -希尔伯特空间和巴拿赫空间 ，其共轭空间（即对偶向量空间 的复共轭）是一致凸的。

满足 Banach-Saks 定理版本的空间有时被称为具有 Banach-Saks 属性。