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Entringer 数

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(1)

Entringer 数 E(n,k) (OEIS A008281) 是 排列 的数量 {1,2,...,n+1}, 以 k+1 开头，这些排列在最初下降之后，交替下降然后上升。Entringer 数由下式给出

E(0,0)=1
(2)
E(n,0)=0
(3)

以及 递推关系

E(n,k)=E(n,k-1)+E(n-1,n-k).
(4)

这些数字的适当排列的 数字三角形 被称为 Seidel-Entringer-Arnold 三角形。

数字 A(n)=E(n,n) 是 正割数 和 正切数，由 麦克劳林级数 给出

secx+tanx=A_0+A_1x+A_2(x^2)/(2!)+A_3(x^3)/(3!)+A_4(x^4)/(4!)+A_5(x^5)/(5!)+....
(5)

它们有闭合形式

A_n={i^nE_n for n even; -((2i)^(n+1)(2^(n+1)-1)B_(n+1))/(n+1) for n odd,
(6)

. 其中 E_n 是 欧拉数，B_n 是 伯努利数。

另请参阅

交错排列, Boustrophedon 变换, 欧拉锯齿数, 排列, 正割数, Seidel-Entringer-Arnold 三角形, 正切数, Zag 数, Zig 数

使用 探索

参考文献

Bauslaugh, B. and Ruskey, F. "按字典序生成交错排列。" BIT 80, 17-26, 1990.Entringer, R. C. "欧拉数和伯努利数的组合解释。" Nieuw Arch. Wisk. 14, 241-246, 1966.Millar, J.; Sloane, N. J. A.; and Young, N. E. "序列上的新运算：Boustrophedon 变换。" J. Combin. Th. Ser. A 76, 44-54, 1996.Poupard, C. "Entringer 数的新枚举意义。" Disc. Math. 38, 265-271, 1982.Ruskey, F. "交错排列的信息。" http://www.theory.csc.uvic.ca/~cos/inf/perm/Alternating.html.Sloane, N. J. A. Sequences A000111/M1492 and A008281 in “整数序列在线百科全书。”

在 中被引用

Entringer 数

引用为

Weisstein, Eric W. "Entringer 数。" 来自 Web 资源。 https://mathworld.net.cn/EntringerNumber.html

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