Z变换

序列 ${a_k}_(k=0)^infty$ 的（单边）-变换定义为

$Z[{a_k}_(k=0)^infty](z)=sum_(k=0)^infty(a_k)/(z^k).$

(1)

此定义在 Wolfram 语言中实现为ZTransform[a, n, z]。类似地，逆 -变换实现为InverseZTransform[A, z, n]。

“-变换”通常指的是单边 Z 变换。不幸的是，还有许多其他约定。Bracewell (1999) 使用术语“-transform”（小写）来指代单边 -变换。Girling（1987，第 425 页）根据连续函数的样本定义变换。更糟糕的是，一些作者将 -变换定义为双边 Z 变换。

一般来说，除非指定序列的收敛域，否则序列的逆 -变换不是唯一的（Zwillinger 1996，第 545 页）。如果函数的 -变换是解析已知的，则可以使用轮廓积分计算逆 -变换 ${a_n}_(n=0)^infty=Z^(-1)[F(z)](n)$

(2)

其中是复平面原点周围的闭合轮廓，位于的解析域内（Zwillinger 1996，第 545 页）

单边变换在许多应用中很重要，因为数字序列 ${a_n}_(n=0)^infty$ 的母函数正好由 $Z[{a_n}_(n=0)^infty](z^(-1))$ 给出，即 -变换 ${a_n}$ 在变量中的变换 (Germundsson 2000)。换句话说，函数的逆 -变换精确地给出了级数展开中的项。例如，级数的项由下式给出：

Z^(-1)[y^(-1)(y^(-1)+1)/(y^(-1)-1)^3](n)
=Z^(-1)[-(y(y+1))/((y-1)^3)](n)=n^2.

(3)

Girling（1987）定义了单边 -变换的一种变体，它作用于以规则间隔采样的连续函数，

(4)

其中是拉普拉斯变换，

			(5)
			(6)

周期为的单边 shah 函数由下式给出：

(7)

并且是 Kronecker delta，给出：

(8)

另一种等效定义是

(9)

其中

(10)

通过取，此定义本质上等同于通常的定义。

下表总结了一些常用函数的 -变换（Girling 1987，第 426-427 页；Bracewell 1999）。这里，是 Kronecker delta，是 Heaviside 阶跃函数，是 polylogarithm。

	$Z[{a_n}_(n=0)^infty](z)$
	1


1

一般幂函数的 -变换可以解析计算为：

$Z[{n^k}_(n=0)^infty](z)$			(11)
			(12)
			(13)

其中是 Eulerian numbers，是 polylogarithm。令人惊讶的是，-变换因此是 Euler's number triangle 的生成器。

-变换 $Z[{a_n}](z)=F(z)$ 满足许多重要性质，包括线性性

$Z[a{a_n}+b{b_n}](z)=aZ[{a_n}](z)+bZ[{b_n}](z),$

(14)

平移

$Z[{a_(n-k)}](z)$	$z^(-k)Z[{a_n}](z)$	(15)
$Z[{a_(n+1)}](z)$	$zZ[{a_n}](z)-za_0$	(16)
$Z[{a_(n+2)}](z)$	$z^2Z[{a_n}](z)-z^2a_0-za_1$	(17)
$Z[{a_(n+k)}](z)$	$z^mZ[{a_n}](z)-sum_(r=0)^(m-1)z^(k-r)a_(rt),$	(18)

缩放

$Z[{b^na_n}](z)=F(z/b),$

(19)

以及乘以的幂

$Z[{n^ka_n}](z)$			(20)
$Z[{n^(-1)a_n}](z)$			(21)

（Girling 1987，第 425 页；Zwillinger 1996，第 544 页）。

离散傅里叶变换是 -变换的一个特例，其中

(22)

以及一个 -变换，其中

(23)

对于，称为分数傅里叶变换。

另请参见

双边 Z 变换, 离散傅里叶变换, Euler's Number Triangle, Eulerian Number, 分数傅里叶变换, 母函数, 拉普拉斯变换, Population Comparison, 单边 Z 变换

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更多尝试

参考文献

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-Transform (ZT)." Ch. in "Remarks on FFT Algorithms." http://www.jjj.de/fxt/.Boxer, R. "A Note on Numerical Transform Calculus." Proc. IRE 45, 1401-1406, 1957.Boxer, R. and Thaler, S. "A Simplified Method of Solving Linear and Nonlinear Systems." Proc. IRE 44, 89-101, 1956.Bracewell, R. The Fourier Transform and Its Applications, 3rd ed. New York: McGraw-Hill, pp. 257-262, 1999.Balakrishnan, V. K. Schaum's Outline of Combinatorics, including Concepts of Graph Theory. New York: McGraw-Hill, 1995.Brand, L. Differential and Difference Equations. New York: Wiley, 1966.Cadzow, J. A. Discrete-Time Systems: An Introduction with Interdisciplinary Applications. Englewood Cliffs, NJ: Prentice-Hall, 1973.DiStefano, J. J.; Stubberud, A. R.; and Williams, I. J. Schaum's Outline of Feedback and Control Systems, 2nd ed. New York: McGraw-Hill, 1995.Elaydi, S. N. An Introduction to Difference Equations, 2nd ed. New York: Springer, 1999.Germundsson, R. "Mathematica Version 4." Mathematica J. 7, 497-524, 2000.Girling, B. "The Z Transform." In CRC Standard Mathematical Tables, 28th ed (Ed. W. H. Beyer). Boca Raton, FL: CRC Press, pp. 424-428, 1987.Graf, U. Applied Laplace Transforms and z-Transforms for Scientists and Engineers: A Computational Approach using a Mathematica Package. Basel, Switzerland: Birkhäuser, 2004.Graham, R. L.; Knuth, D. E.; and Patashnik, O. Concrete Mathematics: A Foundation for Computer Science, 2nd ed. Reading, MA: Addison-Wesley, 1994.Grimaldi, R. P. Discrete and Combinatorial Mathematics: An Applied Introduction, 4th ed. Longman, 1998.Jury, E. I. Theory and Applications of the Z-Transform Method. New York: Wiley, 1964.Kelley, W. G. and Peterson, A. C. Difference Equations: An Introduction with Applications, 2nd ed. New York: Academic Press, 2001.Koepf, W. Hypergeometric Summation: An Algorithmic Approach to Summation and Special Function Identities. Braunschweig, Germany: Vieweg, 1998.Levy, H. and Lessman, F. Finite Difference Equations. New York: Dover, 1992.Ljung, L. System Identification: Theory for the User. Prentice-Hall, 1987.Mickens, R. E. Difference Equations, 2nd ed. Princeton, NJ: Van Nostrand Reinhold, 1987.Miller, K. S. Linear Difference Equations. New York: Benjamin, 1968.Ogata, K. Discrete-Time Control Systems. Englewood Cliffs, NJ: Prentice-Hall, 1987.Petkovšek, M.; Wilf, H. S.; and Zeilberger, D. A=B. Wellesley, MA: A K Peters, 1996. http://www.cis.upenn.edu/~wilf/AeqB.html.Sedgewick, R. and Flajolet, P. An Introduction to the Analysis of Algorithms. Reading, MA: Addison-Wesley, 1996.Tsypkin, Ya. Z. Sampling System Theory. New York: Pergamon Press, 1964.Vidyasagar, M. Control System Synthesis: A Factorization Approach. Cambridge, MA: MIT Press, 1985.Wilf, H. S. Generatingfunctionology, 2nd ed. New York: Academic Press, 1994.Zwillinger, D. (Ed.). "Generating Functions and