维纳-霍普夫方法

维纳-霍普夫方法是一种强大的技术，它使得某些线性偏微分方程在半无限域上受边界条件约束时能够被显式地求解。该方法有时被称为维纳-霍普夫技巧或维纳-霍普夫分解。

维纳-霍普夫方法开始于应用广义上和下傅里叶变换，以获得一个恒等式

(1)

在一个带状区域上

(2)

在复-平面上，其中是一个复变量。请注意，恒等式 () 是关于未知函数和的，它们分别在半平面和上是解析的，而, , 和 是在-平面上的“参数函数”，它们在整个上是解析的。

为了简化，假设和在中非零。维纳-霍普夫过程最基本的步骤是通过找到函数和来找到 () 中和的解，其中和分别在和上是解析且非零的，使得

(3)

这样做之后，可以使用分解式 () 将 () 重写为

(4)

由此，最后一个被加数可以分解为

(5)

对于，分别是，在满足，分别是的区域内解析。

将 () 代入 () 并重写会导出一个形式为的函数

(6)

尽管仅在带状区域中定义，但可以通过解析延拓将其定义并在整个复-平面上解析化。 () 背后的思想是接下来证明存在正整数，使得

(7)

并且

(8)

由此，刘维尔定理适用，并要求是一个次数小于或等于的多项式 。 特别是，

(9)

并且

(10)

因此，将和定义到任意多项式的范围内，即，到必须使用其他方法确定的有限数量的任意常数的范围内。

虽然维纳-霍普夫方法本身是解决各种类型偏微分方程的有用工具，但其最重要的优势之一是从中衍生出的大量其他方程求解方法。 事实上，从维纳-霍普夫分解中衍生出的技术已被证明在许多不同的情况下都很有用，涵盖了包括理论和应用物理学 (Noble 1958)、衍射理论 (Linton and McIver 2001) 和流体动力学 (Ho 2007) 在内的多个不同学科领域。