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前角公式

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前角公式，也称为辛普森公式，是三角学公式，用于将函数乘积转换为和或差。它们由下式给出

sinalpha+sinbeta=2sin[1/2(alpha+beta)]cos[1/2(alpha-beta)]
(1)
sinalpha-sinbeta=2cos[1/2(alpha+beta)]sin[1/2(alpha-beta)]
(2)
cosalpha+cosbeta=2cos[1/2(alpha+beta)]cos[1/2(alpha-beta)]
(3)
cosalpha-cosbeta=-2sin[1/2(alpha+beta)]sin[1/2(alpha-beta)].
(4)

这种形式的三角函数可以在 Wolfram 语言 中使用以下命令获得TrigFactor[expr].

TrigSumProduct

这些可以使用上图（Kung 1996）推导出来。从图中，定义

theta=1/2(alpha-beta)
(5)
gamma=1/2(alpha+beta).
(6)

然后我们有恒等式

s=1/2(sinalpha+sinbeta)
(7)
=cos[1/2(alpha-beta)]sin[1/2(alpha+beta)]
(8)
t=1/2(cosalpha+cosbeta)
(9)
=cos[1/2(alpha-beta)]cos[1/2(alpha+beta)].
(10)
TrigDiffProduct

两个角的余弦和正弦的差的三角积公式可以使用上面所示的类似图形（Kung 1996）推导出来。使用先前定义的 theta 和 gamma，上图给出

u=cosbeta-cosalpha
(11)
=2sin[1/2(alpha-beta)]sin[1/2(alpha+beta)]
(12)
v=sinalpha-sinbeta
(13)
=2sin[1/2(alpha-beta)]cos[1/2(alpha+beta)].
(14)

另请参阅

和角公式, 三角加法公式, 沃纳公式

使用 Wolfram|Alpha 探索

参考文献

Kung, S. H. "Proof without Words: The Difference-Product Identities" and "Proof without Words: The Sum-Product Identities." Math. Mag. 69, 269, 1996.

在 Wolfram|Alpha 上被引用

前角公式

引用为

Weisstein, Eric W. "Prosthaphaeresis Formulas." 来自 MathWorld——Wolfram 网络资源。 https://mathworld.net.cn/ProsthaphaeresisFormulas.html

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