三角形内接正方形

给定一个三角形 ，内接正方形是一个正方形，其所有四个顶点都位于 的边上，并且其中两个顶点落在同一条边上。正如 van Lamoen (2004) 指出的，有两种类型的正方形内接参考三角形 ，因为所有顶点都位于 的边线上。特别是，第一种类型在一个边上具有正方形的两个相邻顶点，而第二种类型在一个边上具有两个相对的顶点。每种类型都有三个正方形，van Lamoen (2004) 在齐次重心坐标中给出了每种类型的三个正方形的中心和顶点。

I 型内接正方形可以通过在其中一条边（例如 ）上向外构建一个正方形来获得。现在连接这个正方形的新顶点 和 与顶点 ，标记交点 和 。接下来，绘制通过 和 到 的垂线。这些线分别在 和 上与 和 相交。这产生了 内接正方形 (van Lamoen 2004)。

-, -, 和 -内接正方形的中心构成的三角形 形成内内接正方形三角形，它与 透视，透视中心是外 Vecten 点，Kimberling's 。

通过最初在边 上向内构建一个正方形，可以进行类似的构造。这导致了 内接正方形。 -, -, 和 -内接正方形的中心构成的三角形 形成外内接正方形三角形，它与 透视，透视中心是内 Vecten 点，Kimberling's 。

II 型内接正方形的中心是垂心轴与 各边的交点。考虑垂心轴和 的交点 。通过 到 的垂线分别与 和 相交于 和 。与 上的点 和 一起，这些点构成了 II 型 -内接正方形。

连接这些内接正方形的顶点 和 的线平行于垂心轴。

通过 , 和 的圆是 -阿波罗尼斯圆（类型 3）。

考虑如上所述在非钝角三角形中内接的所有可能正方形的长度。检查表明，所有这些正方形的边长非常接近，Oxman 和 Stupel (2013) 证实了这一观察结果，他们表明，如果 是任意两个此类正方形的边长，则 。

Casey (1888, pp. 10-11) 给出了在任意三角形 上内接一种正方形的几何构造如下。构造垂线 和线段 。平分 ，令 为角平分线与 的交点。然后绘制通过 的 和 ，分别垂直于和平行于 。令 为 和 的交点，然后构造通过 和 垂直于 的 和 。那么 是一个内接正方形。置换顶点的顺序会得到另外两个全等的正方形。

请注意，这些正方形不一定是最大的可能内接正方形。卡拉比三角形是唯一的三角形（除了等边三角形），对于它，最大的内接正方形可以用三种不同的方式内接。