缝合流形

缝合流形是几何拓扑学中的一个工具，由 David Gabai 首次引入，用于研究 3-流形上的紧叶状结构。粗略地说，缝合流形是一个对 ，其中 是一个紧致、可定向的带边界的 3-流形， 是 中的一组可定向的简单闭曲线，这些曲线将 分割成 和 两部分 (Juhász 2010)。

在 Gabai (1983) 的一篇开创性著作中精确定义，缝合流形 是一个紧致可定向 3-流形 ，以及 的一个子集 ， 是成对不相交的环面 和环 的集合，使得 的每个连通分量包含一个同调非平凡的可定向简单闭曲线（称为缝线），并且 是可定向的。使用这种构造，缝合流形 的集合 有效地将 分割成不相交的部分 和 ，其中 和 分别定义为 的连通分量，其法向量分别指向 内部和外部。Gabai 的定义还要求 上的方向与缝线集合 相干，其含义是 的任何带有边界方向的分量 必须在 中表示与某些缝线相同的同调类。

对缝合 3-流形的研究已经产生了若干重要的成果，并且仍然是当今拓扑学家研究的重要焦点。例如，Gabai 关于缝合 3-流形的工作为解决包括 Poenaru 猜想和 Property R 猜想在内的几个长期存在的问题提供了必要的框架，以及一些纽结理论问题，包括纽结亏格的超可加性和Property P 对于卫星纽结 (Scharlemann 1989)。此外，平衡的缝合 3-流形（即那些没有闭合分量， 的每个分量都包含缝线，且 的流形 ，其中 表示欧拉示性数）也在所谓的缝合 Floer 同调的背景下进行了研究，缝合 Floer 同调是平衡缝合流形的不变量，并且是 Heegaard Floer 同调和纽结 Floer 同调的推广 (Juhász 2010)。