第一类关联斯特林数 -- 来自 Wolfram MathWorld

第一类关联斯特林数

第一类关联斯特林数定义为给定数字的排列数量，这些排列恰好有个置换环，且所有环的长度都为或更大 (Comtet 1974, p. 256; Riordan 1980, p. 75)。它们是更一般数字的特殊情况，并具有递推关系

(1)

具有初始条件对于，以及 (Appell 1880; Tricomi 1951; Carlitz 1958; Comtet 1974, pp. 256, 293, and 295)。的生成函数由下式给出

e^(-tu)(1-t)^(-u)=1+sum_(k=1)^(n/2)(d_2(n,k))/(n!)t^nu^k
=1+((t^2)/2+(t^3)/3+(t^4)/4+(t^5)/5+(t^6)/6+...)u
+((t^4)/8+(t^5)/6+(13t^6)/(72)+...)u^2+((t^6)/(48)+...)u^3+...

(2)

(Comtet 1974, p. 256)。第一类关联斯特林数满足以下求和恒等式

(3)

对于和为素数，

(4)

对于所有整数，

(5)

类似地，

(6)

(Comtet 1974, p. 256)。

第一类关联斯特林数的特殊情况由下式给出

			(7)
			(8)
			(9)
			(10)

(Comtet 1974, p. 256)。这些数字的三角形由下式给出

1
2
6,3
24,20
120,130,15
720,924,210
5040,7308,2380,105

(11)

(OEIS A008306)。

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参考文献

Appell, P. "Développments en série entière de

." Grunert Archiv 65, 171-175, 1880.Carlitz, L. "On Some Polynomials of Tricomi." Boll. Un. M. Ital. 13, 58-64, 1958.Carlitz, L. "Note on Nörlund's [sic] Polynomial

." Proc. Amer. Math. Soc. 11, 452-455, 1960.Comtet, L. Advanced Combinatorics: The Art of Finite and Infinite Expansions, rev. enl. ed. Dordrecht, Netherlands: Reidel, 1974.Riordan, J. An Introduction to Combinatorial Analysis. New York: Wiley, 1980.Sloane, N. J. A. Sequence A000457/M4736 in "The On-Line Encyclopedia of Integer Sequences."Tricomi, F. G. "A Class of Non-Orthogonal Polynomials Related to those of Laguerre." J. Analyse M. 1, 209-231, 1951.

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Weisstein, Eric W. “第一类关联斯特林数。” 来自 MathWorld--Wolfram Web 资源。 https://mathworld.net.cn/AssociatedStirlingNumberoftheFirstKind.html

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