球环

球环是一个球体，带有一个圆柱形孔，切割方式使得圆柱体和球体的中心重合，也称为餐巾环。设球体的半径为 ，圆柱体的半径为 。

从右图可以看出，球环的表面积等于一个半高的圆柱体的两倍，其中半高为

(1)

半径为 ，加上半径为 ，高度为 的球带的两倍，得到：

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			(3)

注意，如上图所示，切出的孔由一个圆柱形部分加上两个球冠组成。整个圆柱体的体积为：

(4)

上部段的体积为：

(5)

然后，钻一个圆柱形孔所移除的体积为：

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其中，表达式

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从三角学获得，已被用于重新表达结果。

球环本身的体积由下式给出：

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通过最后一个方程，仅给定孔的长度即可计算出任何中心钻孔球体的剩余体积。特别地，如果球体变大而 保持恒定，则环的周长变大，体积增加，但环变窄，体积减小。这两种效应完全相互抵消，这导致 Gardner（1959，第 113-121 页）称此为一个“不可思议的问题”。

也可以通过查看垂直于轴线的横截面来更轻松地找到体积。然后发现横截面的面积不依赖于 ，从而得出上述结果。

球环的质心在原点，均方（球面）半径为：

(13)

关于原点的惯性矩由下式给出：

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