格尔尼茨-戈登恒等式

第一个格尔尼茨-戈登恒等式指出，将分拆为各个部分之间的最小差至少为 2，且偶数部分之间的最小差至少为 4 的分拆数，等于将分拆为模 8 余 1、4 或 7 的部分的分拆数。例如，取，得到的两组分拆为和。

第二个格尔尼茨-戈登恒等式指出，将分拆为各个部分之间的最小差至少为 2，偶数部分之间的最小差至少为 4，且所有部分都大于 2 的分拆数，等于将分拆为模 8 余 3、4 或 5 的部分的分拆数。例如，取，得到的两组分拆为和。

格尔尼茨-戈登恒等式归功于 H. 格尔尼茨，并包含在他 1961 年未发表的荣誉学士论文中。然而，基本上没有人知道这些结果，直到戈登 (1965) 独立地重新发现了它们。

格尔尼茨-戈登分拆恒等式的解析对应物是 q-级数恒等式

sum_(n=0)^infty(q^(n^2)(-q;q^2)_n)/((q^2;q^2)_n)=1/((q;q^8)_infty(q^4;q^8)_infty(q^7;q^8)_infty)
=1+q+q^2+q^3+2q^4+2q^5+2q^6+3q^7+4q^8+5q^9+...
sum_(n=0)^infty(q^(n(n+2))(-q;q^2)_n)/((q^2;q^2)_n)=1/((q^3;q^8)_infty(q^4;q^8)_infty(q^5;q^8)_infty)
=1+q^3+q^4+q^5+q^6+q^7+2q^8+2q^9+2q^(10)+...

(OEIS A036016 和 A036015)，其中表示一个 q-级数，系数给出了满足相应格尔尼茨-戈登恒等式的分拆数。

这些解析恒等式由 Slater (1952) 发表，并且比分拆定理早十年。方程 (◇) 在 Slater 的列表中是第 36 号，方程 (◇) 是第 34 号。然而，最近 A. 西尔斯发现，拉马努金在他的遗失笔记本中记录了两个与解析格尔尼茨-戈登恒等式等价的解析恒等式，因此拉马努金在 Slater 重新发现它们之前 30 多年就知道了这些恒等式 (Andrews and Berndt 2008, 第 37 页)！

另请参阅

安德鲁斯-戈登恒等式, 格尔尼茨定理, 罗杰斯-拉马努金恒等式

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参考文献

Andrews, G. E. 关于广义罗杰斯-拉马努金定理。 Providence, RI: Amer. Math. Soc., 1974.Andrews, G. E. 分拆理论。 Cambridge, England: Cambridge University Press, p. 114, 1998.Andrews, G. E. 和 Berndt, B. C. 拉马努金的遗失笔记本，第二部分。 New York: Springer, 2008.Göllnitz, H. "Partitionen mit Differenzenbedingungen." J. reine angew. Math. 225, 154-190, 1967.Gordon, B. "Some Continued Fractions of the Rogers-Ramanujan Type." Duke Math. J. 32, 741-748, 1965.Gordon, B. 和 McIntosh, R. J. "Some Eighth Order Mock Theta Functions." J. London Math. Soc. 62, 321-335, 2000.Mc Laughlin, J.; Sills, A. V.; 和 Zimmer, P. "Dynamic Survey DS15: Rogers-Ramanujan-Slater Type Identities." Electronic J. Combinatorics, DS15, 1-59, May 31, 2008. http://www.combinatorics.org/Surveys/ds15.pdf.Selberg, A. "Über die Mock-Thetafunktionen siebenter Ordnung." Arch. Math. og Naturvidenskab 41, 3-15, 1938.Slater, L. J. "Further Identities of the Rogers-Ramanujan Type." Proc. London Math. Soc. Ser. 2 54, 147-167, 1952.Sloane, N. J. A. Sequences A036015 and A036016 in "The On-Line Encyclopedia of Integer Sequences."