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Andrews-Schur 恒等式

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Andrews-Schur 恒等式指出

sum_(k=0)^nq^(k^2+ak)[2n-k+a; k]_q =sum_(k=-infty)^inftyq^(10k^2+(4a-1)k)[2n+2a+2; n-5k]_q([10k+2a+2]_q)/([2n+2a+2]_q)
(1)

其中 [n; m]_q 是一个 q-二项式系数，并且 [n]_q 是一个 q-括号。 这是一个 多项式 恒等式，适用于 a=0, 1，这意味着通过取 n->infty 并应用 Jacobi 三重积 恒等式，可以得到 Rogers-Ramanujan 恒等式。

当 n->infty 时，公式 (1) 中恒等式的极限是

1/((q^(4-a);q^5)_infty(q^(a+1);q^5)_infty).
(2)

该恒等式的一个变体是

sum_(k=-|_a/2_|)^nq^(k^2+2ak)[n+k+a; n-k]_q =sum_(-|_(n+2a+2)/5_|)^(|_n/5_|)q^(15k^2+(6a+1)k)[2n+2a+2; n-5k]_q([10k+2a+2]_q)/([2n+2a+2]_q),
(3)

其中，求和 限中的符号 |_x_| 是 向下取整函数 (Paule 1994)。 一个相关的恒等式由下式给出

sum_(k=0)^infty(q^(k^2+2ak))/((q;q)_(2k+a))=product_(j=0)^infty1/((1-q^(2j+1))(1-q^(20j+4a+4))(1-q^(20j-4a+16)))
(4)

对于 a=0, 1 (Paule 1994)。 对于 q=1，公式 (3) 变为

sum_(k=-|_a/2_|)^n(n+k+a; n-k)=sum_(k=-|_(n+2a+2)/5_|)^(|_n/5_|)(2n+2a+2; n-5k)(5k+a+1)/(n+a+1).
(5)

另请参阅

Rogers-Ramanujan 恒等式

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参考文献

Andrews, G. E. "一个蕴含 Rogers-Ramanujan 恒等式的多项式恒等式。" Scripta Math. 28, 297-305, 1970.Paule, P. "Rogers-Ramanujan 恒等式和类似类型恒等式的简短而轻松的计算机证明。" Electronic J. Combinatorics 1, 第 1 期, R10, 1-9, 1994. http://www.combinatorics.org/Volume_1/Abstracts/v1i1r10.html.

在 Wolfram|Alpha 上被引用

Andrews-Schur 恒等式

请引用为

Weisstein, Eric W. "Andrews-Schur 恒等式。" 来自 MathWorld--一个 Wolfram 网络资源。 https://mathworld.net.cn/Andrews-SchurIdentity.html

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