主题
Search

周期连分数

DOWNLOAD Mathematica Notebook下载 Wolfram Notebook

周期连分数是一种连分数（通常是正则连分数），其项从某一点开始最终重复。重复项的最小数目称为连分数的周期。所有非平凡的周期连分数都表示无理数。一般来说，一个无限简单连分数（周期性的或非周期性的）表示一个唯一的无理数，并且每个无理数都有一个唯一的无限连分数。

一个无平方因子的整数的平方根具有以下形式的周期连分数

sqrt(n)=[a_0;a_1,a_2,a_3,...,a_2,a_1,2a_0^_]
(1)

(Rose 1994, p. 130)，其中重复部分（不包括最后一项）在反转后是对称的，并且中心项可能出现一次或两次。

如果 D 不是平方数，那么 sqrt(n) 的连分数的项满足

0<a_k<2sqrt(n).
(2)

一个更强的结论是，一个连分数是周期性的当且仅当它是二次多项式的根。将一个数 x 在给定收敛项后剩余的部分称为“尾部”，那么数 x 与其尾部项之间的关系必然是以下形式

x=(ax+b)/(cx+d),
(3)

这只能导致一个二次方程。

PeriodicContinuedFractionPeriods

前几个非平方整数 2, 3, 5, 6, 7, 8, 10, 11, 12, 13, ... 的平方根的连分数的周期是 1, 2, 1, 2, 4, 2, 1, 2, 2, 5, ... (OEIS A000037) (OEIS A013943; Williams 1981, Jacobson et al. 1995)。这些数字及其连分数表示在下表中进行了总结。

Nalpha_(sqrt(N))Nalpha_(sqrt(N))
2[1,2^_]22[4,1,2,4,2,1,8^_]
3[1,1,2^_]23[4,1,3,1,8^_]
5[2,4^_]24[4,1,8^_]
6[2,2,4^_]26[5,10^_]
7[2,1,1,1,4^_]27[5,5,10^_]
8[2,1,4^_]28[5,3,2,3,10^_]
10[3,6^_]29[5,2,1,1,2,10^_]
11[3,3,6^_]30[5,2,10^_]
12[3,2,6^_]31[5,1,1,3,5,3,1,1,10^_]
13[3,1,1,1,1,6^_]32[5,1,1,1,10^_]
14[3,1,2,1,6^_]33[5,1,2,1,10^_]
15[3,1,6^_]34[5,1,4,1,10^_]
17[4,8^_]35[5,1,10^_]
18[4,4,8^_]37[6,12^_]
19[4,2,1,3,1,2,8^_]38[6,6,12^_]
20[4,2,8^_]39[6,4,12^_]
21[4,1,1,2,1,1,8^_]40[6,3,12^_]

周期的长度的上限大约是 O(lnDsqrt(D))。使得 sqrt(n) 的连分数的周期为 p=1, 2, ... 的最小正整数 n 是 2, 3, 41, 7, 13, 19, 58, 31, 106, ... (OEIS A013646)。对于较小的 p，使得 sqrt(n) 的连分数的周期为 p 的前几个 n 值总结如下。

pOEISn
1A0025222, 5, 10, 17, 26, 37, 50, 65, 82, 101, ...
2A0136423, 6, 8, 11, 12, 15, 18, 20, 24, 27, ...
3A01364341, 130, 269, 370, 458, ...
4A0136447, 14, 23, 28, 32, 33, 34, 47, 55, 60, ...
5A01033713, 29, 53, 74, 85, 89, 125, 173, 185, 218, ...
6A02034719, 21, 22, 45, 52, 54, 57, 59, 70, 77, ...
7A01033858, 73, 202, 250, 274, 314, 349, 425, ...
8A02034831, 44, 69, 71, 91, 92, 108, 135, 153, 158, ...
9A010339106, 113, 137, 149, 265, 389, 493, ...
10A02034943, 67, 86, 93, 115, 116, 118, 129, 154, 159, ...

使得 sqrt(n) 的连分数的周期增加的 n 值是 1, 2, 3, 7, 13, 19, 31, 43, 46, 94, 139, 151, 166, 211, 331, 421, 526, 571, ... (OEIS A013645)。

周期连分数的一般恒等式包括

[a^_]=(a+sqrt(a^2+4))/2
(4)
[1,a^_]=(2-a+sqrt(a^2+4))/2
(5)
[a,2a^_]=sqrt(a^2+1)
(6)
[a,b^_]=(-ab+sqrt(ab(ab+4)))/(2a)
(7)
[a_1,...,a_n^_]=(-(q_(n-1)-p_n)+sqrt((q_(n-1)-p_n)^2+4q_np_(n-1)))/(2q_n)
(8)
[a_0,b_1,...,b_n^_]=a_0+1/([b_1,...,b_n^_])
(9)
[b_1,...,b_n^_]=([b_1,...,b_n^_]p_n+p_(n-1))/([b_1,...,b_n^_]q_n+q_(n-1))
(10)

(Wall 1948, pp. 39 and 83)。

第一个恒等式由以下公式得出

alpha=a+1/(a+1/(a+1/(a+...)))
(11)
=a+1/(a+(1/(a+1/(a+...)))).
(12)

因此，

alpha-a=1/(a+1/(a+1/(a+...))),
(13)

因此，将 (13) 代入 (12) 得到

alpha=a+1/(a+(alpha-a))=a+1/alpha.
(14)

展开

alpha^2-aalpha-1=0,
(15)

并使用二次公式求解得到

alpha=(a+sqrt(a^2+4))/2.
(16)

在一般情况下，这种处理的类比给出

alpha=(alphap_n+p_(n-1))/(alphaq_n+q_(n-1)).
(17)

另请参阅

连分数, 收敛项, 近似贵族数, 贵族数, 二次无理数, 简单连分数

使用 探索

参考文献

Liberman, H. 简单连分数：从基础到研究水平的方法。 SMD Stock Analysts, 2003.Rose, H. E. 数论教程，第二版。 Oxford, England: Oxford University Press, 1994.Rosen, K. H. 初等数论及其应用。 New York: Addison-Wesley, p. 426, 1980.Sloane, N. J. A. 序列 A010337, A010338, A010339, A013642, A013643, A013644, A013645, A013646, A020347, A020348, 和 A020349 在 “整数序列在线百科全书” 中。Wall, H. S. 连分数的解析理论。 New York: Chelsea, 1948.

在 上被引用

周期连分数

请引用为

Weisstein, Eric W. “周期连分数。” 来自 Web 资源。 https://mathworld.net.cn/PeriodicContinuedFraction.html

学科分类