平行线

平行线是与三角形一边平行的直线。通过给定点绘制的三条直线被称为三角形的平行线。

在三角形内部存在一个独特的点，该点产生三条长度相等的平行线。这个点被称为等平行线点。

有一个美丽的定理，将由平行线确定的三个三角形的面积与参考三角形的面积 联系起来。给定通过具有三线坐标 的点的平行线，上面所示的三角形的面积由下式给出

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因此立即得出

(4)

（G. Dalakishvili，个人通信，2005 年 5 月 31 日）。基于定理中配置的外观，将其称为“辐射符号定理”可能是合适的。

类似的定理也适用于图中其他三角形组（van Lamoen，个人通信，2005 年 12 月 2 日）。特别是，

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给出

(8)

同样地，

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因此

(12)

如上图所示，当 位于 Steiner 内切椭圆内部时，平行线的端点位于中心为 的椭圆上

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如果 位于 Steiner 内切椭圆上，则这些点位于抛物线上；如果 位于 Steiner 内切椭圆外部，则这些点位于双曲线上。如果 位于 Steiner 外接椭圆上，则圆锥曲线退化为直线（P. Moses，个人通信，2005 年 11 月 17 日）。

考虑 的反 Cevian 三角形，并对其应用位似变换 。这个三角形是由直线 (, ), (, ) 和 (, ) 形成的三角形（P. Moses，个人通信，2005 年 11 月 16 日）。

设 是三角形 中的另一个点。设 、 和 分别是在三角形 、 和 中定义的点 ，设 、 和 分别是在三角形 、 和 中定义的点 。三角形 和 关于线段 的中点对称，这六个顶点位于中心圆锥曲线上。当且仅当 是 的垂足对应点时，这个中心圆锥曲线是一个圆（Gibert 和 van Lamoen 2003）。