正态和分布

令人惊讶的是，两个正态分布的独立变量 和 的和的分布，其中均值和方差分别为 和 ，也是一个正态分布

其均值为

方差为

通过归纳法，类似的结论也适用于 个正态分布变量的和。

另一种推导方法是通过注意到

其中 是特征函数，而 是逆傅里叶变换，参数取为 。

更一般地，如果 服从正态分布，均值 均值 为 ，方差 方差 为 ，那么 的线性函数

也服从正态分布。新的分布的均值为 ，方差为 ，这可以使用矩生成函数推导得出

其为标准形式，其中

对于独立变量的加权和

期望值由下式给出

令其等于

得到

因此， 个随机变量的加权和的均值和方差是它们的加权和。

如果 是独立的且服从正态分布，均值为 0，方差为 ，定义

其中 服从正交条件

其中 是克罗内克 delta。那么 也是独立的且服从正态分布，均值为 0，方差为 。

Cramer 在 1936 年证明了这个结果的逆定理，即如果 和 是独立的变量，并且 服从正态分布，那么 和 都必须是正态分布。这个结果被称为Cramer 定理。