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正态乘积分布


GaussianProductDistribution

两个正态分布变量 XY 的乘积的分布,其中这两个变量的均值为零,方差分别为 sigma_x^2sigma_y^2,由下式给出

P_(XY)(u)=int_(-infty)^inftyint_(-infty)^infty(e^(-x^2/(2sigma_x^2)))/(sigma_xsqrt(2pi))(e^(-y^2/(2sigma_y^2)))/(sigma_ysqrt(2pi))delta(xy-u)dxdy
(1)
=(K_0((|u|)/(sigma_xsigma_y)))/(pisigma_xsigma_y),
(2)

其中 delta(x)delta 函数K_n(z)第二类修正贝塞尔函数。该分布在上方以红色绘制。

三个正态分布变量乘积的类似表达式可以用 Meijer G-函数 表示为

 P_(XYZ)(u)=1/(2sqrt(2)pi^(3/2)sigma_xsigma_ysigma_z)G_(0,3)^(3,0)((u^2)/(8sigma_x^2sigma_y^2sigma_z^2)|0,0,0),
(3)

在上方以蓝色绘制。


另请参阅

正态差分布, 正态分布, 正态比分布, 正态和分布

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引用为

Weisstein, Eric W. "正态乘积分布。" 来自 —— 资源。 https://mathworld.net.cn/NormalProductDistribution.html

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