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正态比率分布

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GaussianRatioDistribution

独立正态分布且均值为零的变量的比率 X/Y 服从柯西分布。原因如下。设 X 和 Y 均具有 均值 0，标准差分别为 sigma_x 和 sigma_y，则联合概率密度函数是 二元正态分布，其中 rho=0,

f(x,y)=1/(2pisigma_xsigma_y)e^(-[x^2/(2sigma_x^2)+y^2/(2sigma_y^2)]).
(1)

根据比率分布，U=X/Y 的分布为

P(u)=int_(-infty)^infty|y|f(uy,y)dy
(2)
=1/(2pisigma_xsigma_y)int_(-infty)^infty|y|e^(-[y^2/(2sigma_y^2)+u^2y^2/(2sigma_x^2)])dy
(3)
=1/(pisigma_xsigma_y)int_0^inftyyexp[-y^2(1/(2sigma_y^2)+(u^2)/(2sigma_x^2))]dy.
(4)

但是

int_0^inftyye^(-ay^2)dy=1/(2a),
(5)

所以

P(u)=1/(pisigma_xsigma_y)1/(2(1/(2sigma_y^2)+(u^2)/(2sigma_x^2)))
(6)
=1/pi(sigma_xsigma_y)/(u^2sigma_y^2+sigma_x^2)
(7)
=1/pi((sigma_x)/(sigma_y))/(u^2+((sigma_x)/(sigma_y))^2),
(8)

这是一个柯西分布。

更直接的推导来自以下积分

P_(X/Y)(u)=int_(-infty)^inftyint_(-infty)^infty(e^(-x^2/(2sigma_x^2)))/(sigma_xsqrt(2pi))(e^(-y^2/(2sigma_y^2)))/(sigma_ysqrt(2pi))delta(x/y-u)dxdy
(9)
=1/pi((sigma_x)/(sigma_y))/(u^2+((sigma_x)/(sigma_y))^2),
(10)

其中 delta(x) 是一个 delta 函数。

另请参阅

柯西分布, 正态差分布, 正态分布, 正态积分布, 正态和分布

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请引用为

韦斯坦, 埃里克·W. "正态比率分布。" 来自 MathWorld-- Wolfram Web 资源。 https://mathworld.net.cn/NormalRatioDistribution.html

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