矩阵范数

给定一个方阵 复矩阵或 实矩阵 ，矩阵范数 是与 相关的非负数，具有以下性质

1. 当 时 ||A||>0， 当且仅当 时 ||A||=0，

2. 对于任何标量 ，||kA||=|k|||A||，

3. ,

4. .

设 , ..., 为 的特征值，则

(1)

矩阵 -范数对于实数 和矩阵 定义为

(2)

其中 是向量范数。对于 ，计算矩阵 -范数的任务是困难的，因为它是一个带有约束的非线性优化问题。

矩阵范数实现为范数[m, p]，其中 p 可以是 1, 2,无穷, 或"弗罗贝尼乌斯".

最大绝对列和范数 定义为

(3)

谱范数 ，它是 的最大特征值的平方根（其中 是共轭转置），

(4)

通常被称为“矩阵范数”。

最大绝对行和范数定义为

(5)

, , 和 满足不等式

(6)