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Alcuin 序列

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整数序列 1, 0, 1, 1, 2, 1, 3, 2, 4, 3, 5, 4, 7, 5, 8, 7, 10, 8, 12, 10, 14, 12, 16, 14, 19, 16, 21, 19, ... (OEIS A005044) 由以下 系数 的 麦克劳林级数 给出

1/((1-x^2)(1-x^3)(1-x^4))=1+x^2+x^3+2x^4+x^5+....
(1)
AlcuinsSequence

上面展示了该序列前几项的二进制图。

闭合形式包括

a_n=1/(288){107+54n+6n^2+(-1)^n[81+18n+64cos(1/3pin)]+36[cos(1/2pin)-sin(1/2pin)]}
(2)
=1/(288){107+54n+6n^2+(-1)^n[81+18n+64cos(1/3pin)]
(3)
+36(-1)^(|_(n+1)/2_|),
(4)

其中 |_x_| 是向下取整函数。

具有整数边和周长为 n 的不同三角形的数量由下式给出

T(n)=P_3(n)-sum_(1<=j<=|_n/2_|)P_2(j)
(5)
=[(n^2)/(12)]-|_n/4_||_(n+2)/4_|
(6)
={[(n^2)/(48)] for n even; [((n+3)^2)/(48)] for n odd,
(7)

其中 P_2(n) 和 P_3(n) 是分拆函数，其中 P_k(n) 表示将 n 写成 k 项之和的方式数，[x] 是最近整数函数，而 |_x_| 是向下取整函数 (Jordan et al. 1979, Andrews 1979, Honsberger 1985)。 奇怪的是，对于 T(n)，当 n=3, 4, ... 时，恰好是 Alcuin 序列。

另请参阅

整数三角形, 分拆函数 P, 三角形剖分

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参考文献

Andrews, G. "A Note on Partitions and Triangles with Integer Sides." Amer. Math. Monthly 86, 477, 1979.Honsberger, R. Mathematical Gems III. Washington, DC: Math. Assoc. Amer., pp. 39-47, 1985.Jordan, J. H.; Walch, R.; and Wisner, R. J. "Triangles with Integer Sides." Amer. Math. Monthly 86, 686-689, 1979.Sloane, N. J. A. Sequence A005044/M0146 in "The On-Line Encyclopedia of Integer Sequences."

在 Wolfram|Alpha 中被引用

Alcuin 序列

请引用为

Weisstein, Eric W. "Alcuin's Sequence." 来自 MathWorld——Wolfram Web 资源。 https://mathworld.net.cn/AlcuinsSequence.html

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