保守场

对于在特定域 上的保守 向量场，以下条件是等价的：

1. 对于任何有向简单闭曲线 ，线积分 。

2. 对于任何两条具有相同端点的有向简单曲线 和 ，。

3. 存在一个标量 势函数 ，使得 ，其中 是梯度。

4. 如果 是单连通的，则 旋度 。

域 通常被假定为整个二维平面或三维空间。然而，也存在一些场，它们在两个有限域 和 中是保守的，但在它们的并集 中不是保守的。

请注意，条件 1、2 和 3 对于在任何开集 中定义的任何 向量场 都是等价的，前提是曲线 、 和 包含在 中，并且 在 的每个点都成立。

一般来说，条件 4 并不等价于条件 1、2 和 3（并且已知反例，其中 4 并不意味着其他条件，反之亦然），尽管如果 的分量的第一导数是连续的，那么这些条件确实意味着 4。为了使条件 4 意味着其他条件， 必须是单连通的。