Brouwer 度

设 为两个紧致、连通、定向的 维无边界流形之间的映射。则 诱导出一个从同调群 到 的同态 ，两者都规范地同构于整数，因此 可以被认为是整数的同态。数字 1 被映射到的整数 被称为映射 的度。

如果所涉及的流形是光滑的，则有一种简单的方法来计算 。设 ，并用一个与 同伦的光滑映射来近似 ，使得 是 的“正则值”（根据 Sard 定理，这种正则值存在且处处稠密）。根据隐函数定理， 中的每个点都有一个邻域，使得 限制在该邻域上是一个微分同胚。如果这个微分同胚是保定向的，则赋予其数字 ，如果它是反定向的，则赋予其数字 。将 中所有点的数字加起来，这就是 ，即 的 Brouwer 度。映射的度之所以重要，一个原因是它是同伦不变量。一个更精确的结果表明， 维球面上的两个自映射是同伦的，当且仅当它们具有相同的度。这等价于 维球面的第 个同伦群是整数集 的结果。 同构是通过取任何表示的度来给出的。

度概念的一个重要应用是，从 维球面到 维球面的映射的同伦类由它们的度来分类（对于每个整数 ，存在恰好一个映射的同伦类，并且 是这些映射的度）。