欧拉变换

存在（至少）三种类型的欧拉变换（或转换）。第一种是 超几何函数 的一组变换，称为 欧拉超几何变换。

第二种类型的欧拉变换是一种用于 级数 加速收敛 的技术，它将收敛的交错级数

(1)

转换为具有更快收敛速度的级数，且收敛到相同的值，形式如下：

(2)

其中 前向差分 定义为

(3)

（Abramowitz 和 Stegun 1972；Beeler et al. 1972）。欧拉超几何变换 和加速收敛变换通过以下事实相关联：当在第二个 欧拉超几何变换 中取 时，

(4)

其中 是一个 超几何函数，它给出了级数 的欧拉加速收敛变换（Abramowitz 和 Stegun 1972，第 555 页）。

第三种类型的欧拉变换是某些类型的 整数序列 之间的关系（Sloane 和 Plouffe 1995，第 20-21 页）。如果 , , ... 和 , , ... 通过下式关联：

(5)

或者，用 生成函数 和 表示：

(6)

则称 是 的欧拉变换（Sloane 和 Plouffe 1995，第 20 页）。欧拉变换可以通过引入中间级数 , , ... 给定为：

(7)

然后

(8)

其中 。类似地，逆变换可以通过计算中间级数作为下式来实现：

(9)

然后

(10)

其中 是 莫比乌斯函数。

在 图论 中，如果 是 无标号 连通图 在 个节点上满足某些属性的数量，那么 是具有相同属性的总共 无标号图（连通或不连通）的数量。欧拉变换的这种应用称为无标号图的 里德尔公式（Sloane 和 Plouffe 1995，第 20 页）。

欧拉变换也有重要的数论应用。例如，如果存在 种大小为 1 的部分， 种大小为 2 的部分，等等，在给定类型的划分中，那么 是 的欧拉变换是 划分为这些整数部分的划分数。例如，如果对于所有 ，则 是 划分为整数部分的划分数。类似地，如果对于 为 素数 且对于 为合数，则 是 划分为素数部分的划分数（Sloane 和 Plouffe 1995，第 21 页）。Andrews (1986)、Andrews 和 Baxter (1989) 以及 Cameron (1989) 给出了其他应用。