连通图是在图的拓扑空间意义上连通的，即图中任意两点之间都存在路径。不连通的图称为非连通图。根据此定义，空图和单例图被认为是连通的，而节点数 
的空图是非连通的。
根据 West (2001, p. 150) 的说法，单例图 
“令人恼火地不一致”，因为它虽然是连通的（特别是 1-连通的），但为了讨论连通性的一致性，它被认为具有顶点连通度 
。
如果 
是简单图 
的邻接矩阵，则 
的项 
是从顶点 
到顶点 
的 
-步行的数量。因此，具有 
个节点的图是连通的当且仅当
 |
没有矩阵元素等于零。
具有 
个节点的连通图满足
 |
其中 
是顶点 
的顶点度（并且除了单例图 
的情况外，该不等式可以严格成立）。然而，虽然此条件是图连通的必要条件，但不是充分条件；满足上述不等式的任意图可能是连通的或非连通的。
对于 
, 2, ...，
-节点连通未标记图的数量为 1, 1, 2, 6, 21, 112, 853, 11117, 261080, ... (OEIS A001349)。(不一定连通的) 未标记 
-节点图的总数由前述序列的欧拉变换给出，1, 2, 4, 11, 34, 156, 1044, 12346, ... (OEIS A000088; Sloane 和 Plouffe 1995, p. 20)。此外，一般来说，如果 
是满足某些性质的 
个节点上的未标记连通图的数量，则欧拉变换 
是具有相同性质的未标记图（连通或非连通）的总数。欧拉变换的这种应用称为 Riddell 公式。
-节点上连通标记图的数量为 1, 1, 4, 38, 728, 26704, ... (OEIS A001187)，并且 (不一定连通的) 标记 
-节点图的总数由前述序列的指数变换给出：1, 2, 8, 64, 1024, 32768, ... (OEIS A006125; Sloane 和 Plouffe 1995, p. 19)。
可以使用程序高效地枚举 
个节点上的连通图geng（属于nauty）由 B. McKay 使用语法geng -c n。然而，由于程序返回图的顺序geng随着时间的推移和改进的进行而变化，因此此处和GraphData.
可以使用 Wolfram 语言测试图是否为连通图，使用ConnectedGraphQ[g]。
如果 
是非连通的，则其补图 
是连通的 (Skiena 1990, p. 171; Bollobás 1998)。然而，逆命题不成立，例如可以使用圈图 
来说明，它本身是连通的并且与其补图同构。
也可以讨论 k-连通图（即顶点连通度为 
的图），其中每个顶点的度至少为 
（即度序列的最小值是 
）。因此，1-连通图是最小度为 
的连通图。
