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二项变换

二项变换将序列 a_0, a_1, a_2, ... 转换为序列 b_0, b_1, b_2, ... 通过以下变换

b_n=sum_(k=0)^n(-1)^(n-k)(n; k)a_k.

逆变换是

a_n=sum_(k=0)^n(n; k)b_k

(Sloane 和 Plouffe 1995, pp. 13 和 22)。当 n 为素数时，b_n=1，当 n 为合数时，b_n=0 的逆二项变换是 0, 1, 3, 6, 11, 20, 37, 70, ... (OEIS A052467)。当 n 为偶数时，b_n=1，当 n 为奇数时，b_n=0 的逆二项变换是 0, 1, 2, 4, 8, 16, 32, 64, ... (OEIS A000079)。类似地，当 n 为奇数时，b_n=1，当 n 为偶数时，b_n=0 的逆二项变换是 1, 2, 4, 8, 16, 32, 64, ... (OEIS A000079)。贝尔数 1, 1, 2, 5, 15, 52, 203, ... (OEIS A000110) 的逆二项变换是相同数字的移位版本：1, 2, 5, 15, 52, 203, ... (Bernstein 和 Sloane 1995, Sloane 和 Plouffe 1995, p. 22)。

统计分布的中心矩和原点矩也通过二项变换相关联。

参见

二项式, 中心矩, 欧拉变换, 指数变换, 莫比乌斯变换, 原点矩

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参考文献

Bernstein, M. 和 Sloane, N. J. A. "Some Canonical Sequences of Integers." Linear Algebra Appl. 226/228, 57-72, 1995.Sloane, N. J. A. "The On-Line Encyclopedia of Integer Sequences" 中的序列 A000079/M1129, A000110/M1484, 和 A052467。Sloane, N. J. A. 和 Plouffe, S. The Encyclopedia of Integer Sequences. San Diego, CA: Academic Press, 1995.

在 中被引用

二项变换

引用为

Weisstein, Eric W. "二项变换。" 来自 Web 资源。 https://mathworld.net.cn/BinomialTransform.html

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