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科努螺线

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CornuSpiral

科努螺线是在复平面上点的图示

B(t)=S(t)+iC(t),
(1)

其中 S(t) 和 C(t) 是菲涅尔积分（von Seggern 2007, p. 210; Gray 1997, p. 65）。科努螺线也称为回旋曲线或欧拉螺线。它可能最早由约翰·伯努利在 1696 年左右研究 (Bernoulli 1967, pp. 1084-1086)。科努螺线描述了来自半平面边缘的衍射。

CornuSlope

量 C(t)/S(t) 和 S(t)/C(t) 在上方绘制。

CornuNormalTangent

曲线的斜率的切向量（上右图）为

m_T(t)=(S^'(t))/(C^'(t))=tan(1/2pit^2),
(2)

在下方绘制。

CornuTangentSlope

科努螺线的Cesàro 方程是 rho=c^2/s, 其中 rho 是曲率半径，s 是弧长。挠率是 tau=0。

CornuSpirals

Gray (1997) 定义了由参数方程给出的科努螺线的推广

x(t)=aint_0^tsin((u^(n+1))/(n+1))du
(3)
=(at^(n+2))/((n+1)(n+2))_1F_2(1/2+1/(2(n+1));3/2,3/2+1/(2(n+1));-(t^(2(n+1)))/(4(n+1)^2))
(4)
y(t)=aint_0^tcos((u^(n+1))/(n+1))du
(5)
=at_1F_2(1/(2(n+1));1/2,1+1/(2(n+1));-(t^(2(n+1)))/(4(n+1)^2)),
(6)

其中 _1F_2(a;b,c;x) 是广义超几何函数。

这条曲线的弧长、曲率和切线角是

s(t)=at
(7)
kappa(t)=-(t^n)/a
(8)
phi(t)=-(t^(n+1))/(n+1).
(9)

Cesàro 方程是

kappa=-(s^n)/(a^(n+1)).
(10)
CornuPolynomialSpirals

Dillen (1990) 描述了一类“多项式螺线”，其中曲率是弧长的多项式函数。这些螺线是科努螺线的进一步推广。上面绘制的曲线分别对应于 kappa=s, kappa=s^2, kappa=s^2-2.19, kappa=s^2-4, kappa=s^2+1, 和 kappa=5s^4-18s^2+5。

另请参阅

菲涅尔积分, 尼尔森螺线

使用 探索

参考文献

Bernoulli, J. Opera, Tomus Secundus. Brussels, Belgium: Culture er Civilisation, 1967.Dillen, F. "The Classification of Hypersurfaces of a Euclidean Space with Parallel Higher Fundamental Form." Math. Z. 203, 635-643, 1990.Gray, A. "Clothoids." §3.7 in Modern Differential Geometry of Curves and Surfaces with Mathematica, 2nd ed. Boca Raton, FL: CRC Press, pp. 64-66, 1997.Lawrence, J. D. A Catalog of Special Plane Curves. New York: Dover, pp. 190-191, 1972.von Seggern, D. CRC Standard Curves and Surfaces with Mathematica, 2nd ed. Boca Raton, FL: CRC Press, 2007.

请引用为

Weisstein, Eric W. "科努螺线。" 来自 Web 资源。 https://mathworld.net.cn/CornuSpiral.html

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