策梅洛-弗兰克尔公理

策梅洛-弗兰克尔公理是策梅洛-弗兰克尔集合论的基础。在下文中（Jech 1997, p. 1）， 代表 存在， 意味着 对于所有， 代表 “是...的元素”， 代表 空集， 代表 蕴含， 代表 与， 代表 或，以及 代表 “等价于”。

1. 外延公理：如果 和 具有相同的元素，那么 。

(1)

2. 无序对公理：对于任意 和 ，存在一个集合 ，它恰好包含 和 。（也称为配对公理）

(2)

3. 子集公理：如果 是一个性质（带有参数 ），那么对于任意 和 ，存在一个集合 ，它包含所有 X 中具有性质 的 。（也称为分离公理或概括公理）

(3)

4. 并集公理：对于任意 ，存在一个集合 ，即 X 所有元素的并集。（也称为联合公理）

(4)

5. 幂集公理：对于任意 ，存在一个集合 ，即 X 所有子集的集合。

(5)

6. 无穷公理：存在一个无限集合。

(6)

7. 替换公理：如果 是一个函数，那么对于任意 ，存在一个集合 。

(7)

8. 正则公理：每个非空集合都有一个 -极小元素。（也称为基础公理）

(8)

9. 选择公理：每个非空集合族都有一个选择函数。

(9)

公理 1-8 的系统称为策梅洛-弗兰克尔集合论，记为 “ZF”。公理 1-8 的系统减去替换公理（即公理 1-6 加 8）称为策梅洛集合论，记为 “Z”。包含选择公理的公理 1-9 的集合通常记为 “ZFC”。

不幸的是，关于哪些公理构成 “策梅洛集合论”，文献中似乎存在一些分歧。Mendelson (1997) 在策梅洛集合论中不包括选择公理或正则公理，但包括替换公理。Enderton (1977) 包括选择公理和正则公理，但不包括替换公理。Itô 包括一个空集公理，它可以从 (6) 和 (3) 中得到，通过 和 。

Abian (1969) 证明了策梅洛-弗兰克尔公理中四个公理的相容性和独立性。