贝尔范畴定理

贝尔范畴定理，也称为贝尔定理和范畴定理，是分析学和集合论中的一个结果，它大致指出在某些空间中，任何可数个“大”集合的交集仍然是“大”集合。名称中“范畴”的出现指的是该定理与第一范畴和第二范畴集合概念的相互作用。

精确地说，该定理指出，如果空间 是完备度量空间或局部紧 T2-空间，则 的每个可数稠密开子集的交集必然在 中稠密。

上述与第一范畴和第二范畴集合的相互作用可以用一个简单的推论来概括，即空间 ，无论是完备度量空间还是局部紧 Hausdorff 空间，在其自身中都是第二范畴的。为了理解这如何从上述定理得出，设 是完备度量空间或局部紧 Hausdorff 空间，并注意如果 是 的可数个无处稠密子集的集合，并且如果 表示 的闭包 在 中的补集，则每个集合 必然在 中稠密。由于该定理，可以得出所有集合 的交集必须是非空的（并且实际上必须在 中稠密），从而证明 不能写成集合 的并集。 特别地，这样的空间 不能写成在其自身中无处稠密的集合的可数并集，因此是相对于其自身的第二范畴集合。