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阿贝尔扩张


如果 F代数 伽罗瓦扩张域 K 使得扩张的 伽罗瓦群阿贝尔群,那么 F 被称为 K 的阿贝尔扩张。

例如,

 Q(sqrt(2))={a+bsqrt(2)}

是添加平方根 2 的有理数域,是 Q 的二次扩张。它的 伽罗瓦群 有两个元素,非平凡元素将 sqrt(2) 发送到 -sqrt(2),并且是阿贝尔群。相比之下,六次扩张

 F=Q(2^(1/3),sqrt(3)i)={a_1+a_22^(1/3)+a_32^(2/3) 
 +a_4sqrt(3)i+a_52^(1/3)sqrt(3)i+a_62^(2/3)sqrt(3)i}

x^3-2分裂域,并且不是 Q 的阿贝尔扩张。实际上,F 的六个自同构,固定 Q,由 x^3-2 的三个根的排列定义。因此,在这种情况下,伽罗瓦群 是三个字母的 对称群,它是 非阿贝尔群

在作为多项式 p(x)分裂域 的阿贝尔扩张中,p 的根是相关的。例如,考虑一个 分圆域Q(zeta),其中 zeta 是一个 本原单位根 zeta^p=1 并且 p 是一个 素数。那么伽罗瓦群是 循环群 Z_p 的乘法群。

数论中的一个经典定理指出,有理数的阿贝尔扩张必须是 分圆域 的一个 子域。阿贝尔扩张在某种意义上是最简单的扩张类型,因为阿贝尔群比更一般的群更容易理解。阿贝尔扩张 K 的一个好的性质是,对于 F 的任何中间子域 E,其中 F subset E subset K,必须是 F伽罗瓦扩张域,并且根据 伽罗瓦理论基本定理,也是阿贝尔扩张,


另请参阅

代数扩张, 分圆域, 扩张域, 伽罗瓦理论基本定理, 伽罗瓦扩张域, 伽罗瓦群, 数域

此条目的部分内容由 托德·罗兰 贡献

此条目的部分内容由 尼古拉斯·布雷 贡献

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请引用为

布雷,尼古拉斯; 罗兰,托德; 和 韦斯坦因,埃里克·W. “阿贝尔扩张。” 来自 MathWorld--Wolfram Web 资源。 https://mathworld.net.cn/AbelianExtension.html

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