如果 是
代数 伽罗瓦扩张域
使得扩张的 伽罗瓦群 是 阿贝尔群,那么
被称为
的阿贝尔扩张。
例如,
是添加平方根 2 的有理数域,是 的二次扩张。它的 伽罗瓦群 有两个元素,非平凡元素将
发送到
,并且是阿贝尔群。相比之下,六次扩张
是 的 分裂域,并且不是
的阿贝尔扩张。实际上,
的六个自同构,固定
,由
的三个根的排列定义。因此,在这种情况下,伽罗瓦群 是三个字母的 对称群,它是 非阿贝尔群。
在作为多项式 的 分裂域 的阿贝尔扩张中,
的根是相关的。例如,考虑一个 分圆域,
,其中
是一个 本原单位根
并且
是一个 素数。那么伽罗瓦群是 循环群
的乘法群。
数论中的一个经典定理指出,有理数的阿贝尔扩张必须是 分圆域 的一个 子域。阿贝尔扩张在某种意义上是最简单的扩张类型,因为阿贝尔群比更一般的群更容易理解。阿贝尔扩张 的一个好的性质是,对于 域
的任何中间子域
,其中
,必须是
的 伽罗瓦扩张域,并且根据 伽罗瓦理论基本定理,也是阿贝尔扩张,