伽罗瓦扩张域

以下是伽罗瓦扩张域（也简称为伽罗瓦扩张） 在 上的等价定义。

1. 是一个可分多项式集合的分裂域。当 是有限扩张时，只需要一个可分多项式。

2. 中固定 的域自同构 不固定任何中间域 ，即 。

3. 每个在 上有根在 中的不可约多项式，在 中分解成线性因子。此外， 必须是 可分扩张。

4. 代数闭包 的 域自同构 ，对于它， 必须固定 。也就是说， 必须是 的域自同构，并固定 。此外， 必须是 可分扩张。

伽罗瓦扩张具有以上所有性质。例如，考虑 ，由虚数 附加到有理数 得到的域，它是一个伽罗瓦扩张。注意， 包含 的所有根，并且由它们生成，所以它是 的分裂域。当然， 中有两个不同的根，所以它是可分的。唯一非平凡的自同构固定 ，由复共轭给出。

(1)

其固定域是 。唯一具有有理系数且根为 () 形式的不可约多项式是 () 和 。两者都在 上分裂成线性因子。最后，代数闭包 是 中代数数的集合。给定代数数的自同构将 映射到自身，它必须固定 ，这是显而易见的。一般来说，验证所有这些性质并不那么简单，这使得它们的等价性很有用。

一个扩张不是伽罗瓦扩张有两种可能的情况。一种情况是它不是正规扩张。例如， 不是正规的，因此也不是伽罗瓦的。它缺少 的复根。其唯一非平凡的自同构由 定义，它不仅固定 ，还固定了子域 。

另一种非伽罗瓦扩张的可能性是它不是可分的。这种域的域特征必须是有限的，因为在特征为零的情况下，所有多项式都是可分的。此外，所有有限域都是完美域，即所有代数扩张都是可分的。考虑系数在 中的有理函数域，它的大小是无限的，特征为 2 ()。

(2)

以及扩张

(3)

例如， 和 。那么 是 的分裂域，因为在特征 2 中 ，所以它是正规扩张。然而， 不是可分的，因为 在其分裂域 中有重根。