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q-二项式系数

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所述 q-二项式系数是 q-模拟 对于 二项式系数，也称为高斯系数或高斯多项式。一个 q-二项式系数由下式给出

[n; m]_q=((q)_n)/((q)_m(q)_(n-m))=product_(i=0)^(m-1)(1-q^(n-i))/(1-q^(i+1)),
(1)

其中

(q)_k=product_(m=1)^infty(1-q^m)/(1-q^(k+m))
(2)

是一个 q-级数 (Koepf 1998, p. 26)。对于 k,n in N,

[n; k]_q=([n]_q!)/([k]_q![n-k]_q!),
(3)

其中 [n]_q! 是一个 q-阶乘 (Koepf 1998, p. 30)。所述 q-二项式系数也可以根据 q-括号 [k]_q 定义为

[n; k]_q={product_(i=1)^(k)([n-i+1]_q)/([i]_q) for 0<=k<=n; 0 otherwise.
(4)

所述 q-二项式在 Wolfram 语言 中实现为QBinomial[n, m, q].

对于 q->1^-，所述 q-二项式系数变为通常的 二项式系数。

特殊情况

[n]_q=[n; 1]_q=(1-q^n)/(1-q)
(5)

有时被称为 q-括号。

所述 q-二项式系数满足递推方程

[n+1; k]_q=q^k[n; k]_q+[n; k-1]_q,
(6)

对于所有 n>=1 和 1<=k<=n，因此每个 q-二项式系数都是 q 的多项式。前几个 q-二项式系数是

[2; 1]_q=(1-q^2)/(1-q)=1+q
(7)
[3; 1]_q=[3; 2]_q=(1-q^3)/(1-q)=1+q+q^2
(8)
[4; 1]_q=[4; 3]_q=(1-q^4)/(1-q)=1+q+q^2+q^3
(9)
[4; 2]_q=((1-q^3)(1-q^4))/((1-q)(1-q^2))=1+q+2q^2+q^3+q^4.
(10)

从定义中，可以得出

[n; 1]_q=[n; n-1]_q=sum_(i=0)^(n-1)q^i.
(11)

其他恒等式包括

([n+1; k+1]_q)/([n; k+1]_q)=(1-q^(n+1))/(1-q^(n-k))
(12)
([n+1; k+1]_q)/([n+1; k]_q)=(1-q^(n-k+1))/(1-q^(k+1)).
(13)

所述 q-二项式系数 [n; m]_q 可以通过构建 m-子集的所有 {1,2,...,n}，对每个子集的元素求和，并取和

[n; m]_q=sum_(i)q^(s_i-m(m+1)/2)
(14)

在所有子集和 s_i 上 (Kac 和 Cheung 2001, p. 19)。

qBinomial

所述 q-二项式系数 [m+n; m]_q 也可以解释为 q 的多项式，其系数 q^k 计算适合 m×n 矩形内的 k 个元素的不同分区的数量。例如，下表给出了 1、2、3 和 4 的分区。

n分区
0{}
1{{1}}
2{{2},{1,1}}
3{{3},{2,1},{1,1,1}}
4{{4},{3,1},{2,2},{2,1,1},{1,1,1,1}}

其中， {}, {1}, {2}, {1,1}, {2,1}，和 {2,2} 适合 2×2 的框。元素个数分别为 0、1、2、3 和 4 的计数分别是 1、1、2、1 和 1，因此 (4, 2)-二项式系数由下式给出

[4; 2]_q=1+q+2q^2+q^3+q^4,
(15)

如上所示。

另请参阅

二项式系数, 柯西二项式定理, 网格阴影问题, q-括号, q-级数, Stieltjes-Wigert 多项式

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参考

Gasper, G. and Rahman, M. Basic Hypergeometric Series. Cambridge, England: Cambridge University Press, 1990.Kac, V. Cheung, P. Quantum Calculus. New York:Springer-Verlag, 2001.Koekoek, R. and Swarttouw, R. F. "The q-Gamma Function and the q-Binomial Coefficient." §0.3 in The Askey-Scheme of Hypergeometric Orthogonal Polynomials and its q-Analogue. Delft, Netherlands: Technische Universiteit Delft, Faculty of Technical Mathematics and Informatics Report 98-17, pp. 10-11, 1998.Koepf, W. Hypergeometric Summation: An Algorithmic Approach to Summation and Special Function Identities. Braunschweig, Germany: Vieweg, p. 26, 1998.

在 Wolfram|Alpha 上被引用

q-二项式系数

引用为

Weisstein, Eric W. “q-二项式系数。” 来自 MathWorld——Wolfram Web 资源。 https://mathworld.net.cn/q-BinomialCoefficient.html

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