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庞加莱猜想获证——这次是真的

作者：Eric W. Weisstein

4月15日——俄罗斯数学家 Grigori (Grisha) Perelman 博士，Steklov 数学研究所（俄罗斯科学院圣彼得堡分部）的成员，上周在麻省理工学院 (MIT) 举办了一系列公开讲座。 这些讲座题为“里奇流与三维流形的几何化”，是麻省理工学院数学系西蒙斯讲座系列的一部分，于 4 月 7 日、9 日和 11 日举行。 这些讲座构成了 Perelman 首次公开讨论其两篇预印本中包含的重要数学成果，一篇于去年 11 月发表，另一篇于上个月发表。

Perelman 是一位备受尊敬的微分几何学家，在数学界被认为是 里奇流 方面的专家，里奇流是一种与光滑曲面曲率相关的技术性数学构造。 Perelman 的成果以专业数学家的术语表达，在这种情况下，使用了抽象 微分几何 的数学方言。 在一份异常明确的声明中，Perelman（2003 年）实际上在他的第二篇预印本的开头写道：“这是一篇技术性论文，是 [Perelman 2002] 的续篇。” 因此，Perelman 的成果不易为外行人所理解。 Perelman 的预印本仅供专业数学家使用这一事实，也因两篇论文中完全没有提及庞加莱，并且仅提及一次瑟斯顿猜想而得到强调。

如果剥离其技术细节，Perelman 的成果似乎证明了数学中一个非常深刻的定理，即 瑟斯顿几何化猜想。 瑟斯顿猜想与称为 流形 的数学对象上的几何结构有关，并且是著名的 庞加莱猜想 的扩展。 由于庞加莱猜想是瑟斯顿猜想的一个特例，因此后者的证明立即确立了前者。

庞加莱猜想最初由亨利·庞加莱于 1904 年提出（Poincaré 1953，第 486 和 498 页），指出每个 闭 单连通 三维流形都同胚于三维球面。 在这里，三维球面（在拓扑学家的意义上）只是熟悉的二维球面（即，嵌入在通常的三维空间中并具有二维表面的球面）到更高维度的推广。 更通俗地说，庞加莱猜想认为，三维球面是唯一可能存在的、不包含孔洞的有界三维空间。 该猜想随后被推广为猜想：每个 紧 n 维流形都同伦等价于 n 维球面，当且仅当它同胚于 n 维球面。 广义的陈述现在被称为庞加莱猜想，当 n = 3 时，它简化为最初的猜想。

广义猜想的 n = 1 情况是微不足道的，n = 2 情况是经典的（甚至 19 世纪的数学家也知道），n = 3 情况直到现在仍未解决，n = 4 情况由 Freedman 在 1982 年证明（为此他获得了 1986 年的 菲尔兹奖），n = 5 情况由 Zeeman 在 1961 年证明，n = 6 情况由 Stallings 在 1962 年证明，n >= 7 情况由 Smale 在 1961 年确立（尽管 Smale 随后扩展了他的证明以包括所有 n >= 5）。

当克雷数学研究所将庞加莱猜想列入其百万美元奖金问题清单时，公众对庞加莱猜想的兴趣重新燃起。 根据克雷研究所的规则，任何所谓的证明都必须经过两年的学术审查才能领取奖金。 最近一个未能通过甚至这么长时间审查的证明示例是 M. J. Dunwoody 于 2002 年 4 月提交的一篇五页论文（ 新闻报道，2002 年 4 月 18 日），该论文很快被发现存在根本性缺陷。

几乎整整一年后，Perelman 的成果似乎更加可靠。 虽然数学家们还需要几个月的时间才能消化和验证证明的细节，但熟悉 Perelman 工作的数学家认为它经过深思熟虑，并预计很难找到任何重大错误。