基础公理也可以表述为“一个集合不包含无限递降（隶属关系）序列”，或“一个集合包含一个（隶属关系）最小元素”，即，集合中存在一个元素，该元素与该集合不共享任何成员（Ciesielski 1997, p. 37; Moore 1982, p. 269; Rubin 1967, p. 81; Suppes 1972, p. 53）。
Mendelson（1958）证明，这两个陈述的等价性必然依赖于选择公理。对偶表达式称为 -归纳法，并且与公理本身等价（Itô 1986, p. 147）。
Ciesielski, K. Set Theory for the Working Mathematician. Cambridge, England: Cambridge University Press, 1997.Dauben, J. W. Georg Cantor: His Mathematics and Philosophy of the Infinite. Princeton, NJ: Princeton University Press, 1990.Itô, K. (Ed.). "Zermelo-Fraenkel Set Theory." §33B in Encyclopedic Dictionary of Mathematics, 2nd ed., Vol. 1. Cambridge, MA: MIT Press, pp. 146-148, 1986.Mendelson, E. "The Axiom of Fundierung and the Axiom of Choice." Archiv für math. Logik und Grundlagenfors.4, 67-70, 1958.Mendelson, E. Introduction to Mathematical Logic, 4th ed. London: Chapman & Hall, 1997.Mirimanoff, D. "Les antinomies de Russell et de Burali-Forti et le problème fondamental de la théorie des ensembles." Enseign. math.19, 37-52, 1917.Moore, G. H. Zermelo's Axiom of Choice: Its Origin, Development, and Influence. New York: Springer-Verlag, 1982.Neumann, J. von. "Über eine Widerspruchsfreiheitsfrage in der axiomatischen Mengenlehre." J. reine angew. Math.160, 227-241, 1929.Neumann, J. von. "Eine Axiomatisierung der Mengenlehre." J. reine angew. Math.154, 219-240, 1925.Rubin, J. E. Set Theory for the Mathematician. New York: Holden-Day, 1967.Suppes, P. Axiomatic Set Theory. New York: Dover, 1972.Zermelo, E. "Über Grenzzahlen und Mengenbereiche." Fund. Math.16, 29-47, 1930.
表示 蕴含， 
表示 存在， 
表示 与， 
表示 交集，并且 
是 空集 （Mendelson 1997, p. 288）。更具描述性地，“每个非空集合都与其某个元素不相交。”
-归纳法，并且与公理本身等价（Itô 1986, p. 147）。