环面图

每个平面图（即，图亏格为 0 的图）都可以在环面上嵌入。相比之下，环面图可以在环面上嵌入，但不能在平面上嵌入，即，它们的图亏格为 1。等价地，环面图是非平面图，其环面交叉数为 0，即，可以嵌入到环面表面且没有边交叉的非平面图。

图亏格为 2 的图被称为双环面图 (West 2000, p. 266)。

环面图的例子包括完全图 和 以及完全二分图 (West 2000, p. 267)。环面图族包括 -交叉棱柱图，对于 和 圈补图 ，对于 (E. Weisstein，2023 年 5 月 9 日)。

如果存在，环面图（在环面上）的对偶图也是环面的。此类对的示例包括完全图 和 希伍德图，以及 戴克图 和 什里克汉德图。

对于曲面 ，（拓扑）障碍是一个图 ，其最小度至少为 3，且不能嵌入到 上，但对于 的每条边 ，（删除了边 的 ）可以嵌入到 上。一个子式阶障碍 具有附加属性：对于 的每条边 ，（边 收缩 的 ）可以嵌入到 上 (Myrvold 和 Woodcock 2018)。用于图的环面嵌入的禁用子式的完整列表尚不清楚，但已知数千个障碍 (Neufeld 和 Myrvold 1997，Chambers 2002，Woodcock 2007；参见 Mohar 和 Skoda 2020)。Chambers (2002) 发现了 个拓扑障碍和 个子式阶障碍，包括顶点数最多为 11 个的障碍、顶点数为最多 24 个的 3-正则障碍、不连通障碍以及具有割顶的障碍。Myrvold 和 Woodcock (2018) 发现了 个禁用拓扑子式拓扑子式和 个禁用子式。此外，Gagarin等人 (2009) 发现了四个禁用子式和十一个禁用的图扩张，用于不具有 子式的环面图，并证明了这些列表是充分的。

下表总结了几种类型的禁用子式障碍，包括具有顶点连通度为 的障碍 (Olds 2019)。此处， 表示顶点收缩， 表示图的连接。

属性	计数	禁用子式	参考文献
无	4	, , ,	Gagarin 等人 (2009)
	3	, ,	Olds (2019)
	3	, ,	Olds (2019)
	68		Mohar 和 Skoda (2014)

在 , 2, ... 个节点上的环面图的数量为 0, 0, 0, 0, 1, 14, 222, 5365, ... (OEIS A319114)，并且连通环面图的相应数量为 0, 0, 0, 0, 1, 13, 207, 5128, ... (OEIS A319115；E. Weisstein，2018 年 9 月 10 日)。

环面图的图亏格为 ，因此庞加莱公式给出了顶点数 、边数 和面数 之间的关系，如下所示

(1)

然而，环面图也满足

(2)

这可以通过对每个面的边数求和来推导得出。由于每个面至少有 3 条边，因此该总和的下界为 。另一方面，由于每条边恰好界定两个面，因此它也正好是 (Bartlett 2015)。将这两个公式结合起来，得到不等式

(3)

对于一个图成为环面图，该不等式必须成立 (West 2000, p. 268)。

对于环面图，以下情况也为真：

(4)

其中 是最小顶点度。这可以与上面类似地通过对所有顶点的每个顶点的度数求和来推导得出。根据最小顶点度的定义，该总和必须大于 ，但它也等于 (Bartlett 2015)。

将上述两个不等式代入庞加莱公式，则得到

(5)

因此对于任何环面图， (Bartlett 2015)。

Duke 和 Haggard (1972；Harary等人 1973) 给出了顶点数为 8 个或更少的所有图的亏格的判据。定义双环面图

			(6)
			(7)
			(8)

其中 表示 减去 的边。那么， 的子图 如果包含库拉托夫斯基图（即，是非平面的），但不包含任何 ，对于 ，则它是环面的。